完全背包理论基础

• 纯背包问题的特点：每个物品可以无限次拿

• 与0-1背包唯一不同：

  完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

  0-1背包不可以添加多次，需要从大到小去遍历

  

  

• 对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！
  但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
  如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

• 先遍历背包的话，注意背包的索引要从0开始(注意)

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

518. 零钱兑换 II

与目标和的题目很相似，就是求装满容量的组合数

本题物品的容量和价值的含义一样的

本题学到东西：①组合和排列问题不同遍历顺序②背包问题变型思路

• 题目链接：代码随想录

• 背包问题变型思路：

  纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数

  递推公式不同于dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i])，而是dp[j] += dp[j - coins[i]]，-这是一个求装满容器有多少种方法的模板

• 解题思路：
  1.dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
  2.dp[j] += dp[j - coins[i]];
  3.dp[0]一定要为1。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
  4.遍历顺序：一定要先遍历背包

  ​

• 推导过程：

  

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {

        //dp[i]表示装满容量为i的背包有几种方法
        //i代表容量
        int[] dp = new int[amount + 1];//定义背包

        //2.初始化
        dp[0] = 1;

        //3.遍历
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {//先遍历物品

            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { //遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }

        return dp[amount];

    }   
}

377. 组合总和 Ⅳ

• 题目链接：代码随想录

跟上一题对比来看

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

• 解题思路：
  注意遍历顺序即可，其他思路同上。
  ①先遍历背包再遍历物品，遍历物品的时候要从头开始遍历，可以想象成是竖着遍历
  ②在判断当前背包能装下物品时，对dp数组进行修改时，索引为i表示当前背包，因为dp[i]表示为装满重量为i的背包，能有几种组合

• 推导过程：

  

public int combinationSum4(int[] nums, int target) {

    //1.dp[i]表示为装满重量为i的背包，能有几种组合
    int[] dp = new int[target + 1];

    //2.初始化
    dp[0] = 1;

    for (int i = 0; i <= target; i++) {//先遍历背包

        for (int j = 0; j < nums.length; j++) {//再遍历物品，j要从nums[0]开始，因为每一个物品都有可能装进背包和 先遍历物品的情况区别开来

            if(i >= nums[j]){
                dp[i] += dp[i - nums[j]];//这里dp[i]的索引不能错，因为是同一个i表示背包
            }
        }
    }

    return dp[target];

}