1. LUT需要求解什么

首先我们将镜面反射部分的积分分割为两个部分。
$$L_o\left(p,{\omega }_o\right)={\int }_{\Omega }{L}_i\left(p,{\omega }_i\right)d{\omega }_i\ast {\int }_{\Omega }{f}_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$
第一部分的积分即为预滤波，将所有照到该像素点的光照求积分。
$${\int }_{\Omega }{L}_i\left(p,{\omega }_i\right)d{\omega }_i$$
第二部分需要我们知道，这个半球的光线照过来之后，有多少反射到了 ${\omega }_i$ 所在的方向。

$LUT$ 求解的便是，在夹角 $cos\theta =N\cdot {\omega }_i$，粗糙度为 $roughness$ 下，$BRDF$ 的积分是多少。
即，输入为
$$(N\cdot V,roughness)$$
输出为
$${\int }_{\Omega }{f}_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$

$$={\int }_{\Omega }\frac{DFG}{4\left({\omega }_o\cdot n\right)\left({\omega }_i\cdot n\right)}n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$

$$={\int }_{\Omega }\frac{DG}{4\left({\omega }_o\cdot n\right)\left({\omega }_i\cdot n\right)}\left(F_0+\left(1-F_0\right){\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^5\right)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$

$$\begin{gathered} =F_0{\int }_{\Omega }\frac{DG}{4\left({\omega }_o\cdot n\right)\left({\omega }_i\cdot n\right)}\left(1-{\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^5\right)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i \\ +{\int }_{\Omega }\frac{DG}{4\left({\omega }_o\cdot n\right)\left({\omega }_i\cdot n\right)}{\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^{5}n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i \end{gathered}$$

离散化，采样根据法线分布函数D选择路线，其中法线n在单条路径中，法线为h
(如下函数为个人理解，与教材中的方程不符)
$$\begin{gathered} =F_0\frac{{\sum }_{count}\frac{G}{\left({\omega }_o\cdot h\right)\left({\omega }_i\cdot h\right)}\left(1-{\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^5\right)h\cdot {\omega }_i}{count} \\ +\frac{{\sum }_{count}\frac{G}{\left({\omega }_o\cdot h\right)\left({\omega }_i\cdot h\right)}{\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^{5}h\cdot {\omega }_i}{count} \end{gathered}$$
可以看出公式中主要需要考虑到数据有：

1. $$\frac{G}{\left({\omega }_o\cdot h\right)\left({\omega }_i\cdot h\right)}h\cdot {\omega }_i=\frac{G}{\left({\omega }_o\cdot h\right)}$$
2. $${\left(1-{\omega }_o\cdot h\right)}^5$$
3. $$如何进行采样$$
4. $$如何积分$$

问题1

代码如下
这里因为H为L和V的中间向量，因此GeometrySmith可以被优化处理

// ----------------------------------------------------------------------------
float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float roughness)
{
    // note that we use a different k for IBL
    float a = roughness;
    float k = (a * a) / 2.0;

    float nom   = NdotV;
    float denom = NdotV * (1.0 - k) + k;

    return nom / denom;
}
// ----------------------------------------------------------------------------
float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float roughness)
{
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotL, roughness);
    return ggx1 * ggx1;
}

int main(){
	for(i : count){
		float G = GeometrySmith(H, V, L, roughness);//教材中的 H 为宏观法线 N，这里设为微观法线H
		float G_Vis = G / VdotH;
	}
}

问题2

float Fc = pow(1.0 - VdotH, 5.0);

问题3：如何进行采样

我们已知光线输出方向为 $V={\omega }_o$，采光防线为 $L={\omega }_i$
采光方向的计算采用在预过滤篇使用的采样方式，在以N为周边的法线区域采样的得到H，在通过反射计算得到L。

vec2 Xi = Hammersley(i, SAMPLE_COUNT);
vec3 H = ImportanceSampleGGX(Xi, N, roughness);
vec3 L = normalize(2.0 * dot(V, H) * H - V);

问题4 ： 如何积分

按照公式，得到每个所有采样方向积分的综合

		A += (1.0 - Fc) * G_Vis;
        B += Fc * G_Vis;

之后对积分求平均，返回。

    A /= float(SAMPLE_COUNT);
    B /= float(SAMPLE_COUNT);
    return vec2(A, B);

问题5：为什么分两段存储

第二部分卷积主要求解：当入射角度为 $V\cdot N$ ，粗糙度为 $roughness$ 时，$BRDF$的平均值。

然而，不同材质应该拥有不同的反射性质，即不同的反射系数以及BRDF，但在实时渲染中，这里做了简化。
实时渲染中不同的材质的参数只包括：粗糙度，基础反射系数
因为不同材质的拥有不同的 $F_0$，基础反射系数与材质基础颜色与金属度有关。
而反射率 $F$ 与粗糙度 $roughness$ 有关。

因此 $LUT$ 表的构建不需要任何参数的输入，即与环境贴图，材质纹理，观察角度都无关，一个贴图适用于任何场景。因此在实际使用中，只需要保存该表，每次程序运行时加载就好，不需要计算得到。

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