【数据结构】AVLTree

news2024/10/6 15:40:12

1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是 AVL 树
左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1）

2.AVLTree节点的定义

我们这里直接实现KV模型的AVL树，为了方便后续的操作，这里将AVL树中的结点定义为三叉链结构，并在每个结点当中引入平衡因子（右子树高度-左子树高度）。除此之外，还需编写一个构造新结点的构造函数，由于新构造结点的左右子树均为空树，于是将新构造结点的平衡因子初始设置为0即可。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	//三叉链
	AVLTreeNode<K, V>* _left;    //该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;   //该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //该节点的父节点

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;             //节点的平衡因子：右子树高度-左子树高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

//AVLTree的定义
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;

private:

Node* _root=nullptr;
}

3.插入数据

插入数据分为三步：

  1. 按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置。
  2. 找到待插入位置后，将待插入结点插入到树中。
  3. 更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。

因为AVLTree是二叉搜索树所以插入数据后也要保证这颗树是二叉搜索树，插入数据时依旧按照二叉所搜树的数据插入规则：

1.插入的数据比父节点大就往父节点的右边走

2.插入的数据比父节点小就往父节点的左边走

3.插入的数据和父节点相等时插入失败

如此进行下去，直到找到与待插入结点的key值相同的结点判定为插入失败，或者最终走到空树位置进行结点插入。走到插入的位置后new一个新的节点，如果这个节点的值比父节点的值大就插入到父节点的右边否则插入到父节点的左边。插入新的节点后AVLTree的结构可能遭到破坏，所以此时就要更新平衡因子，并且检测树的结构是否遭到了破坏。如果树的结构遭到了破坏还需要进行调整工作。

新节点插入后，父节点的平衡因子一定需要调整，在插入之前，父节点的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 插入节点后分以下两种情况：

 1. 如果新节点插入到父节点的左侧，只需给父节点的平衡因子-1即可

 2. 如果新节点插入到父节点的右侧，只需给父节点的平衡因子+1即可
由于一个结点的平衡因子是否需要更新，是取决于该结点的左右子树的高度是否发生了变化，因此插入一个结点后，该结点的祖先结点的平衡因子可能需要更新。

每更新完一个结点的平衡因子后，都需要进行以下判断：

如果parent的平衡因子等于-1或者1，表明还需要继续往上更新平衡因子。
如果parent的平衡因子等于0，表明无需继续往上更新平衡因子了。
如果parent的平衡因子等于-2或者2，表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。

插入元素后parent的平衡因子为0说明该节点之前的平衡因子为-1 或者 1说明该节点的左边或者右边有一个孩子，调整完平衡因子为0是将该节点的另一边给补齐了，此时树的整体高度是没有变化的，就不用继续调整平衡因子了。

 如果parent的平衡因子等于-1或者1，表明还需要继续往上更新平衡因子。说明之前的节点的平衡因子为0，此时节点多了一个孩子这棵树的整体高度就增加了，需要继续向上调整新增节点的祖先节点平衡因子直到根节点。

 我们将新插入的位置定义为cur，在向上调整平衡因子时：

cur=prarent;

parent=parent->_parent;

当走到某一步时parent的平衡因子为+-2时说明此时树的结构已经不符合AVL树的性质了，此时需要对树进行旋转

  1. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1时，进行右单旋。
  2. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为1时，进行左右双旋。
  3. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为-1时，进行右左双旋。
  4. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时，进行左单旋。

左单旋：

 操作的内容：

  1. 让subR的左子树作为parent的右子树。
  2. 让parent作为subR的左子树。
  3. 让subR作为整个子树的根。
  4. 更新平衡因子。

可以进行这样操作的原因是：

  1. subR的左子树当中结点的值本身就比parent的值大，因此可以作为parent的右子树。
  2. parent及其左子树当中结点的值本身就比subR的值小，因此可以作为subR的左子树。

代码：

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		//1、建立subR和parent之间的关系
		parent->_parent = subR;
		subR->_left = parent;

		//2、建立parent和subRL之间的关系
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		//3、建立parentParent和subR之间的关系
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr; //subR的_parent指向需改变
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else //parent == parentParent->_right
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

		//4、更新平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

右单旋：

操作内容：

  1. 让subL的右子树作为parent的左子树。
  2. 让parent作为subL的右子树。
  3. 让subL作为整个子树的根。
  4. 更新平衡因子。

可以进行这样操作的原因是：

  1. subL的右子树当中结点的值本身就比parent的值小，因此可以作为parent的左子树。
  2. parent及其右子树当中结点的值本身就比subL的值大，因此可以作为subL的右子树。

代码实现：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		//1、建立subL和parent之间的关系
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		//2、建立parent和subLR之间的关系
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//3、建立parentParent和subL之间的关系
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else //parent == parentParent->_right
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}

		//4、更新平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左右双旋：

 步骤：

  1. 以subL为旋转点进行左单旋。
  2. 以parent为旋转点进行右单旋。
  3. 更新平衡因子。

代码实现：

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf; 

		//1、以subL为旋转点进行左单旋
		RotateL(subL);

		//2、以parent为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent);

		//3、更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)  //该节点就是新增的节点
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题
		}
	}

右左双旋：

步骤：

  1. 以subR为旋转点进行右单旋。
  2. 以parent为旋转点进行左单旋。
  3. 更新平衡因子。

代码实现：

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		//1、以subR为轴进行右单旋
		RotateR(subR);

		//2、以parent为轴进行左单旋
		RotateL(parent);

		//3、更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)//该节点就是新增的节点
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题
		}
	}

 综上AVLTree的插入函数为：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr) //若AVL树为空树，则插入结点直接作为根结点
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		//1、按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入结点的key值小于当前结点的key值
			{
				//往该结点的左子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入结点的key值大于当前结点的key值
			{
				//往该结点的右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else //待插入结点的key值等于当前结点的key值
			{
				//插入失败（不允许key值冗余）
				return false;
			}
		}

		//2、将待插入结点插入到树中
		cur = new Node(kv); //根据所给值构造一个新结点
		if (kv.first < parent->_kv.first) //新结点的key值小于parent的key值
		{
			//插入到parent的左边
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else //新结点的key值大于parent的key值
		{
			//插入到parent的右边
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//3、更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转
		while (cur != _root) //最坏一路更新到根结点
		{
			if (cur == parent->_left) //parent的左子树增高
			{
				parent->_bf--; //parent的平衡因子--
			}
			else if (cur == parent->_right) //parent的右子树增高
			{
				parent->_bf++; //parent的平衡因子++
			}
			//判断是否更新结束或需要进行旋转
			if (parent->_bf == 0) //更新结束（新增结点把parent左右子树矮的那一边增高了，此时左右高度一致）
			{
				break; //parent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) //需要继续往上更新平衡因子
			{
				//parent树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //需要进行旋转（此时parent树已经不平衡了）
			{
				if (parent->_bf == -2)
				{
					if (cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent); //右单旋
					}
					else //cur->_bf == 1
					{
						RotateLR(parent); //左右双旋
					}
				}
				else //parent->_bf == 2
				{
					if (cur->_bf == -1)
					{
						RotateRL(parent); //右左双旋
					}
					else //cur->_bf == 1
					{
						RotateL(parent); //左单旋
					}
				}
				break; //旋转后就一定平衡了，无需继续往上更新平衡因子(旋转后树高度变为插入之前了)
			}
			else
			{
				assert(false); //在插入前树的平衡因子就有问题
			}
		}

		return true; //插入成功
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		//1、建立subR和parent之间的关系
		parent->_parent = subR;
		subR->_left = parent;

		//2、建立parent和subRL之间的关系
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		//3、建立parentParent和subR之间的关系
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr; //subR的_parent指向需改变
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else //parent == parentParent->_right
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

		//4、更新平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* parentParent = parent->_parent;

		//1、建立subL和parent之间的关系
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		//2、建立parent和subLR之间的关系
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//3、建立parentParent和subL之间的关系
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else //parent == parentParent->_right
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}

		//4、更新平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf; //subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是1

		//1、以subL为旋转点进行左单旋
		RotateL(subL);

		//2、以parent为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent);

		//3、更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题
		}
	}
	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		//1、以subR为轴进行右单旋
		RotateR(subR);

		//2、以parent为轴进行左单旋
		RotateL(parent);

		//3、更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题
		}
	}

4.树的遍历

AVLTree的遍历与二叉搜索树类似，为了不暴露根节,所以在类中封装一个函数

public:
 
void InOrder()
{
    _InOrder(_root);
}

private:

void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);

	}

5. AVLTree的性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但当一个结构经常需要被修改时，AVL树就不太适合了。
 

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