文章目录
- 初识状态转移模型：人狼羊菜渡河问题
- 状态转移模型的结论
- 状态转移模型的应用：n人过桥问题
直接讲理论不太容易懂，所以我们通过一个例子来具体讲解一下这个模型
初识状态转移模型：人狼羊菜渡河问题
人狼羊菜问题应该是很经典的状态转移模型的例题了，题目内容：
有个人带着一只狼，一头羊，和一筐菜准备渡河，但是船只能容纳除了人以外的一种生物，无人看守时，狼吃羊，羊吃菜，问怎么渡河，并且每次渡河时，人必须在船上，问：怎么渡河才能让人狼羊菜都安全过河？
要解决这个问题，我们首先想到的是试探一下，做假设，对于这种变量个数较少的，我们可以很轻松的就使用暴力法做出来结果
- 人和羊去
- 人回来
- 人和狼去
- 人和羊回来
- 人和菜去
- 人回来
- 人和羊去
图示如下：
对于简单问题，我们能很轻松的给出解法，但是，如果复杂一点的话，就不能一下看出来了，所以我们要从简单的问题中提炼出有效信息，使用抽象的方式描述这一类问题，然后给出更普适的通解，当以后再遇到这一类问题的时候，直接用通解的结论带入即可轻松快速解决问题，这就是数学建模的本质与目的。
那么，针对人狼羊菜问题，我们使用抽象的方式来描述一下问题吧
我们把人、狼、羊、菜看成是四个变量，他们的位置状态使用数字表示，假设在左岸是1，右岸是0，那么就可以得到如下的表格
这个表格中，列出了人狼羊菜四个对象的所有状态，但是其中有不合法的状态，现在要做的是把不合法的状态全部都去除掉，然后就得到了如下的表格
这十个就是安全状态，然后我们的目的也就变成了将变量状态由1111变成0000
然后下一步，由于这些状态是依靠人来转变的，所以，我们将上述的十种安全状态按照人的状态分类，就得到了如下结果
现在的状态是看起来是用二进制的方式表示的，那么我们使用十进制会不会更好表示呢？
可以看到，我们把二进制的状态变成十进制啦，并且又重新为他们编了号，所以现在，我们的问题转变成了1 -> 10，一共有这么多条线呢，我们把这个图简化一下吧，更方便我们看
所以，最终变成了这种状态，此时，我们就能够很清晰的得出结论：1. 该问题有解 2. 该问题有两个解 3. 7步完成
到此我们就使用科学的方式建立了模型解决了这个问题。这是我们对数学建模的最基本的了解。
状态转移模型的结论
1. 特征：
对逐步过程的简单抽象
2. 状态机
状态机就是集合上的二元关系，集合中的元素就是”状态“，这个关系被称作转移关系，在转移关系图中，一个箭头表示一次转移。状态机的表达形式：
V = {q -> r | q,r是E中的元素}
其中E表示的是状态的集合，即状态空间。
3. 状态图
集合上所有的转移关系成为状态机的状态图，所有状态机都有初始状态，在状态图中的表现形式为两个圈
4. 状态机的描述
状态机的描述有以下几个关键点：状态空间，初始状态，转移关系
例如：有一个从0开始的无界计数器，他的状态机描述为：
状态空间：{0，1，2….}
初始状态：0
转移：{n -> n+1}
状态转移模型的应用：n人过桥问题
题干：有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。假设他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒，这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟。显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度。问，他们全部过桥最少要用多长时间？
✅首先分析出这里的变量集，{甲，乙，丙，丁}，根据问题的描述，假设四人初始时都在桥左侧，最终想去往桥右侧，所以每个变量的状态有两个，在左侧或右侧
✅把这四个变量设成(x1,x2,x3,x3)，分别对应甲乙丙丁，其中的值设为0或1，分别代表在左侧或右侧
✅所以可以得到，所有状态的状态集为：
(0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,1)
(1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1)
✅由于题目的约束条件，我们能够得到的决策集有{甲乙，甲丙， 甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，甲，乙，丙，丁}
通过状态+决策集的方式，我们同样能够写出来状态转移方程，按照此方法，将转移过程展开，最终能够得到一个状态转移的带权图，在其中有很多的路径，每个路径的权值不同，最终我们要找的最优解就是图中的最短路径，这里涉及到数据结构的知识，在这里就不过多赘述了。
态转移方程，按照此方法，将转移过程展开，最终能够得到一个状态转移的带权图，在其中有很多的路径，每个路径的权值不同，最终我们要找的最优解就是图中的最短路径，这里涉及到数据结构的知识，在这里就不过多赘述了。
关于模型的学习和使用，现在笔者现在还在路上，如果哪里有错误，欢迎大家在评论区指正。
