前言

微积分总共走过了两个时期。首先是牛顿和莱布尼茨利用无穷小量定义微分和积分，并且发现了微分和积分的关系，这是第一个时期，这时的微积分是不严谨的（由于无穷小量无法解释的缘故）。第二个时期是柯西利用极限的思想定义积分。

这篇博客首先从微积分的第一时期开始，介绍到微积分的第二时期。并且由于我是信竞生，而不是数竞生的缘故，这篇博客并不会讲微积分如何在数学方面运用，而只是对微积分做个简单的介绍，为了以后学习其他内容做基础。

初期

这一时期的微积分由牛顿和莱布尼茨构建。

积分

我们在小学的时候常常要求求出阴影部分的面积，这时候就有许许多多的奇技淫巧来解决。

但是并不是对于所有的阴影部分都有简便的方法来求，就比如你在纸上随便画几个曲线围成的封闭图形，你就没有什么好的方法来求。

古时候的数学家就有许多人来思考如何解决，他们的思想都十分类似，就是用能求出面积的图形（比如矩形）来逼近我们要求的面积。

于是我们来看看抛物线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴在横坐标 $0$ 到 $1$ 之间围成的面积如何求。

我们可以用矩形来逼近面积。显然，我们如果将 $0$ 到 $1$ 之间分成更多的矩形，那么矩形的面积和也就会更接近我们要求的面积。

我们假设将 $0$ 到 $1$ 分成了 $n$ 份，则我们可以算出所有矩形的面积如下：

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{n}\cdot (\frac{1}{n}{)}^2+\frac{1}{n}\cdot (\frac{2}{n}{)}^2+\cdots +\frac{1}{n}\cdot (\frac{n}{n}{)}^2\\ & =\frac{1}{n^3}\cdot (1^2+2^2+\cdots +n^2)\\ & =\frac{1}{n^3}\cdot (\frac{2n^3+3n^2+n}{6})\\ & =\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\end{array}$$

当我们的 $n$ 取到一个无穷大值的时候，我们似乎可以近似的将矩形的面积就看为抛物线的面积，这时候 $\frac{1}{2n}$ 和 $\frac{1}{6n^2}$ 就可以看成一个无穷小量，似乎可以把它省略。然后省略后抛物线的面积就是 $\frac{1}{3}$。

而积分其实实际上就是求面积的。

我们对于一段函数 $f(x)$ 到 $x$ 轴所围成的面积可以用以下积分式子表示：

$$S={\int }_l^{r}f(x)\cdot dx$$

其中 $dx$ 就是一个无穷小量，这段式子我们可以按照上面用矩形逼近面积的方法来理解，这时候 $dx$ 其实就是分成的矩形的底。

以上都是微积分创立初期的看法，但实际上这里是不严谨的，虽然从直观上来说是容易理解的。

微分

微分其实就是求导，即求出导数。

我们来看看什么是导数。

在此之前，我们先来看看什么是函数的切线。

对于如下函数，我们想求他在 $A$ 点的切线。

传统上我们可以这样定义切线：先随便画一个直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。

但是这样就有个问题，就是当 $B$ 点和 $A$ 点重合的时候，就相当于是一个点，这时候就不能确定一条直线。但是不重合时就任是一条割线而不是切线。

其实我们可以让两个点无限接近但始终不重合，也就是说让这两个点之间的距离变成无穷小就好了。

于是我们就知道了如何求一个函数在一个点上的切线。

这时候我们切线的斜率就可以表示为 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$，这时候的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是无限趋近于零的，于是莱布尼茨就定义 $dx$ 和 $dy$ 表示 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 无限趋近于零时候的值（不等于零）。

这时候我们发现，对于函数上的每个点（也就是每一个 $x$ 值），都对应有一个切线的斜率，这时候我们就定义一个新的函数叫做导函数（简称导数），记为 $f^{\prime }(x)$，意义就是这一点的切线的斜率，所以 $f^{\prime }(x)$ 的定义如下：

$$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$$

这时候我们就能用导数来描述函数的倾斜程度。

微分其实就是求导的过程。

微积分

牛顿和莱布尼茨伟大的地方就在于他们将两个看起来毫不相连的两个量（微分和积分）联系在了一起。

他们发现微分和积分其实是一种互逆运算。

就是如果我把一个值求导过后再积分一下，跟原来的值是一样的（积分再求导也一样）。

这能带了什么实际的意义呢？其实就是给我们多了一种选择。

我们再求积分的时候可以换成求哪个函数的微分为这个值，求微分的时候可以换成哪个函数的积分为这个值。

这是一个华丽的转变，是的许多问题的方法大大简化，同时让数学发生了根本性的转变。

问题

这一个时期的微积分有什么问题呢？

我们算一个函数的导数就知道了。

以 $f(x)=x^2$，为例。

则 $f^{\prime }(x)$ 的推导过程如下：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{dy}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{(x+dx)-x}\\ & =\frac{x^2+2x\cdot dx+d{x}^2-x^2}{dx}\\ & =\frac{2x\cdot dx+d{x}^2}{dx}\end{array}$$

因为无穷小量不等于零，所以我们可以约分，则：

$$f^{\prime }(x)=2x+dx$$

这时候的式子一个数加上一个无穷小量，这无穷小量究竟能不能省略呢？

因为我们知道无穷小量小于任何一个数，所以似乎又可以把它当成一个零来对待，于是我们就似乎可以把它省略掉，式子如下：

$$f^{\prime }(x)=2x$$

这时候的结果稍微验证一下似乎是正确的，但是我们的推导就有些问题了。

我们一会把无穷小量不当成零来约分，一会又把它当成零来省略，但是无穷小量又不能同时等于零又不等于零的，又不是薛定谔家的猫，所以这里就出现了问题。

这也就导致了第二次数学危机的发生。

后期

既然知道了问题所在，那么数学家肯定就会想办法解决（或者大肆批判）。

牛顿和莱布尼茨没有能够找到对无穷小量合理解释，并且到了第二次数学危机发生的时候也没有一个很好的对无穷小量的解释。

这时候一个数学家柯西站了出来，但是他并没有解释无穷小量，而是又重新搞了一个概念并且以这个概念为基础重构了微积分（本质上还是一样，但是基础变了）。

极限

柯西深刻地认识到：只要涉及数学概念，任何关于连续运动的一些先验的直观观念，都是可以避免，甚至是必须避免的。科学放弃了形而上学方面的努力，采用“可观测”概念之后就迎来了大发展，那数学为什么不也这样呢？

既然科学从动态的定义转变为静态的定义，那数学为什么也不转变为静态的定义呢？

我们知道无穷小量是一个无限接近零的量，这里的“无限接近”事实上就是一个动态的定义。

所以柯西就给了一个新的概念：极限。

当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小，那么这个固定值就被称为它的极限。

上面就是柯西的定义，但是我们似乎并不能看出来他跟牛顿和莱布尼茨的概念有什么不同。

但是注意，“它同这个固定值之间的差可以随意地小”这句话的意思是你随意给出一个数，我极限到固定值的差一定小于你到固定值的差，这时候就不是无限接近了，而是一个固定的值。

柯西避免了无穷小量的无限接近，而是把无限接近这个概念留给了其他人，你让我小于谁我就小于谁，除非你把无穷小量说出来，要不然就不能说我说不出来了。

这时候极限就是一个确定的值了，而不是一个无限逼近零的值。

$\epsilon$-$\delta$极限

柯西用语言提出来极限的概念， 但是需要有一个人用数学定义极限，这个人就是魏尔斯特拉斯。

根据柯西的思想，魏尔斯特拉斯说：你要判断某个函数 $f(x)$ 在某个地方 $a$ 的极限是不是某个值 $L$，关键就要看如果我任意说一个数 $\epsilon$，你能不能找到一个 $x$ 的取值范围（用 $\delta$ 来衡量），让这个范围里的函数值 $f(x)$ 与那个值 $L$ 之间的差小于 $\epsilon$。如果你总能找到这样的 $\delta$，那我就说函数 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限为 $L$。

用精练的数学语言表述上面的话就是：当且仅当对于任意的 $\epsilon$，存在一个 $\delta >0$，使得对于任意 $0<|x-a|<\delta$，就有 $|f(x)-L|<\epsilon$，那么我们就说 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限为 $L$，记做：

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

这时候极限的定义就做到了完全静态，没有一点动态的影子了。

这时候积分的定义可以写成如下形式：

$$S\to A$$
$$A={\int }_l^{r}f(x)\cdot dx$$

微分也一样：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

勒贝格积分

我们已经知道了函数的微积分了，但是究竟有哪些函数可以用微积分，哪些不可以用呢？

我们熟悉的莫比乌斯函数和狄利克雷函数就不能用微积分。

这个问题知道 $20$ 世纪初才由勒贝格解决，并且勒贝格将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。然后，勒贝格基于测度的理论也给出了一个函数是否可积的判断条件。

当然，这里仅仅做个介绍，并不会深入了解它（主要因为本人不会）。

结语

这篇文章是自己总结时写的，主要是为了给信竞生学其他内容做一个基础的介绍，并不会涉及太多内容。

所以虽然积分还有许多的知识需要学习，但因为本人是信竞生而没有进行深究，所以如果要学习更深的内容，可以考虑买本教材。

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