题目链接：https://leetcode.cn/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/
1. 题目介绍（62. 圆圈中最后剩下的数字）
0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，
0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
【测试用例】：
【条件约束】：
2. 题解
2.1 环形链表（经典解法）-- O(mn)
时间复杂度 O(mn)，空间复杂度 O(n)
【解题思路】：
经典解法：用环形链表模拟圆圈；
- 我们可以创建一个共有 n 个节点的环形链表，然后每次在这个链表中删除第 m 个节点
……
这样做的优点就在于：
- 循环链表的向下枚举不需要考虑头尾问题，直接
node=node.next向下；- 循环聊表的删除也不需要考虑头尾问题，直接
node.next=node.next.next删除。
……
Note：当链表结构中不存在前驱节点时，且需要删除某一节点，我们尽可能的提前遍历到要删除节点的前一节点，就通过node.next=node.next.next 来实现删除，而不是等遍历到删除节点，再考虑删除的问题，因此此时没有前驱节点，你将很难确定你的前驱节点是谁，除非提前创建临时节点将当前节点的前驱记录了下来。
…………
但使用循环链表仍有很多问题：
- 比如说，该方法每次删除一个数字都需要 m 步的运算，一旦碰见 m 远大于 n 的情况，就可能存在在环形链表中重复遍历很多遍的情况，极大地影响了时间复杂度。
……
【实现策略】：
- 创建头节点
head，并为其赋值为0；- 创建一个链表
team，通过 for 循环对链表进行初始化；- 让链表的尾节点的后继指向头节点，使链表形成环；
- 定义索引变量
index，用来指代当前走了多少步，如果走到了m-1步，就开始删除 m步 所处位置的节点；- 删除结束后，返回剩下节点的值。
class Solution {
// 定义链表结构
public class ListNode {
int val;
ListNode next;
ListNode(int x) { val = x; }
}
// Solution1：环形链表
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m == 1) return n-1; // 一次一个直接返回最后一个即可
ListNode head = new ListNode(0);
ListNode team = head; // 创建一个链表
for(int i = 1; i < n; i++)
{
team.next = new ListNode(i);
team = team.next;
}
team.next = head; //使形成环
int index = 1; //从1开始计数
while (head.next != head) { // 当剩余节点不止一个的时候
// 如果index = m-1 那就说明下个节点(m)该删除了
// 因为如果遍历到要删除的节点再删除, 此时由于没有前驱节点,我们无法确定当前节点的上一节点是谁?
// 一般的办法是定义一个临时遍历pre, 提前存储当前节点的上一节点
// 但此处直接提前判断, 在要删除的上一节点就执行删除操作,即: 将要删除节点的前驱的后继指向要删除节点的后继
if(index == m-1)
{
head.next = head.next.next;
// 删除之后, 让index归位, 方便后面重新计算
index = 1;
}
else {
index++;
}
head = head.next;
}
return head.val;
}
}
2.2 模拟链表 + 求余 – O(n2) ⭐
时间复杂度O(n2)，空间复杂度O(n)
【解题思路】：
环形链表中使用链表直接模拟游戏全过程造成了非常严重的超时，n个数字，数到第m个出列，m如果非常大，远大于n，那么将产生很多次重复的转圈。
那么在本题解中，就要来解决这个重复转圈的问题：
- 首先，很多时候我们完全不需要手动去写一个链表结构，而是可以通过
ArrayList和LinkedList去模拟一个链表；如果使用LinkedList其底层也是链表，使用ArrayList的话其底层数据结构是数组，此处，我们选择了ArrayList来实现链表的模拟；- 其次，由上图我们可以推理出一个公式，
index=(index+m-1)%(list.size())，根据此公式，我们可以直接确定下一次要删除的元素的具体位置，从而避开重复的转圈遍历。
……
Note：关于删除元素的位置公式，不理解的可以根据上图，自己走一遍流程。在本题中，数字和下标都是从 0 开始起算，所以第 m 步 走到的是 列表中第 m-1 个元素 （m < n 的情况下）；而当我们每次找到并删除一个元素时，由于该元素已被删除，它的下标就自动被下一元素所继承，那还是相当于我们只需要走 m-1 步就到了下一个需要删除的元素的位置；同时，我们结合环形链表的特质，通过 位置 与 列表长度 的求余，就可以去掉多余的重复循环，直接找到 要删除元素在列表中的位置。
…………
【实现策略】：
- 创建列表
list，用来模拟链表；- 初始化列表，将 0 ~ n-1的元素全部加入到列表中；
- 循环根据位置公式
idx = (idx+m-1) % list.size()删除元素，直至列表中剩下最后一个元素；- 最后返回结果。
class Solution {
// Solution2：模拟链表
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m == 1) return n-1; // 一次一个直接返回最后一个即可
List<Integer> list = new ArrayList<>(); // 创建列表，用来模拟链表
for (int i = 0; i < n; i++) { // 初始化列表
list.add(i);
}
int idx = 0;
while (list.size() > 1) { // 循环删除元素，直至剩下最后一个
idx = (idx+m-1) % list.size(); // 根据公式，我们可以找到每次要删除的元素的位置
list.remove(idx);
}
return list.get(0);
}
}
2.3 数学分析 – O(n)
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
【解题思路】：
说实话数学题解法，确实又快又好，但难的是怎么推出来，如果碰到其它问题，且之前没有接触过，一般人很难在很短的时间内就能得到正确的推理结果，所以这种数学解法看看，锻炼锻炼思维就好，不要求掌握。
……
推理公式：f(n,m)指n个人，报第m个编号出列最终编号
以 n = 10，m = 9 为例：最后结果记为f(10,3)
那么其转化过程就为：
- f(10,3)=(f(9,3)+3)%10
- f(9,3)=(f(8,3)+3)%9
……- f(2,3)=(f(1,3)+3)%2
- f(1,3)=0
……
【实现策略】：
- 根据公式即可轻松写出代码；
class Solution {
// Solution3：数学分析
public int lastRemaining(int n, int m) {
int value=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
value=(value+m)%i;
}
return value;
}
}
3. 参考资料
[1] 圆圈中最后剩下的数字(图解三种方法) – bigsai，该题解在循环链表这一方面讲的很清楚.
[2] Java解决约瑟夫环问题，告诉你为什么模拟会超时！-- Sweetiee🍬的小号，对数学分析题解进行了比较清晰的描述，值得参考.
