1.异或的性质
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2.nim游戏 （基础）
891. Nim游戏 - AcWing题库
给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。
输出格式
如果先手方必胜，则输出
Yes。否则，输出
No。
例如：有两堆石子，第一堆有2个，第二堆有3个，先手必胜。
操作步骤：
1. 先手从第二堆拿走1个，此时第一堆和第二堆数目相同
2. 无论后手怎么拿，先手都在另外一堆石子中取走相同数量的石子即可。
先手必败状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0
先手必胜状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an ≠ 0
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
/*
先手必胜状态：先手操作完，可以走到某一个必败状态
先手必败状态：先手操作完，走不到任何一个必败状态
先手必败状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0
先手必胜状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an ≠ 0
*/
int main(){
int n;
scanf("%d", &n);
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
int x;
scanf("%d", &x);
res ^= x;
}
if(res == 0) puts("No");
else puts("Yes");
}
3.nim游戏（变形）
892. 台阶-Nim游戏 - AcWing题库
现在，有一个 n 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第 i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。
两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。
已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 级台阶上的石子数 ai
输出格式
如果先手方必胜，则输出
Yes。否则，输出
No。
此时我们需要将奇数台阶看做一个经典的Nim游戏，如果先手时奇数台阶上的值的异或值为0，则先手必败，反之必胜
证明：
先手时，如果奇数台阶异或非0，根据经典Nim游戏，先手总有一种方式使奇数台阶异或为0，于是先手留了奇数台阶异或为0的状态给后手
于是轮到后手：
①当后手移动偶数台阶上的石子时，先手只需将对手移动的石子继续移到下一个台阶，这样奇数台阶的石子相当于没变，于是留给后手的又是奇数台阶异或为0的状态
②当后手移动奇数台阶上的石子时，留给先手的奇数台阶异或非0，根据经典Nim游戏，先手总能找出一种方案使奇数台阶异或为0
只异或奇数的，不异或偶数的，因为最后要把石子都放到地面，地面是第0层（偶数层，如果算上地面的，也许会多一层，个人理解）
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int res = 0;
int n;
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
int x;
cin >> x;
if(i % 2==1) res ^= x;//只异或奇数的
}
if(res==0) puts("No");
else puts("Yes");
return 0;
}
⭐⭐⭐代码中，先都异或了一遍，然后把
修改的位置的原来的数和修改了的数又异或了一遍
刚开始以为这不是重复了吗
其实不是，以为相同的数异或为0，0异或任何数还为原数
那么 修改的位置的原来的数异或后是0，并不影响
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int a[N];
signed main(){
int n,q,x,y;
cin>>n>>q;
int sum = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum^=a[i];
}
while(q--){
cin>>x>>y;
sum^=a[x];
sum^=y;
a[x] = y;
if(sum!=0){
cout<<"Kan"<<endl;
}
else{
cout<<"Li"<<endl;
}
}
return 0;
}Code over！
