本文的重点：使用一个神经网络来近似策略函数Π

我们使用一个神经网络来近似策略函数，这个神经网络叫做策略网络，他可以用来控制agent运动，想要训练这个神经网络，就要用到policy gradient算法

策略函数Π的输入是当前状态s，他的输出是一个概率分布(0,2,0.1,0.7)，给每一个动作a一个概率值

超级玛丽的例子里面，Π函数的输入是状态s，输出是个三维向量，每个元素是一个动作的概率，有了这三个概率值，agent会做一个随机抽样，得到动作a，左右上这三个动作都有可能被抽到，但是向上被抽到的概率最大，是0.7

1、如何得到策略函数呢？

假如一个游戏只有5个状态10个动作，那很好办，我们画一张5*10的表，表里面每一格对应一个概率，我们通过玩游戏，把这50个概率值算出来就好了，但是超级玛丽这样的游戏有无数个这样的状态，这张表根本装不下，所以我们没法直接计算policy函数Π，所以我们得做函数近似，学出来一个函数来近似策略函数，函数近似的方法有多种多样，可以用线性函数，可以用曲线函数，也可以用神经网络，这里的θ是神经网络的参数，一开始θ是随机初始化的，后来我们通过学习来改进θ

2、如果是超级玛丽这个游戏，我们可以把策略网络设计成这个样： 

输入是状态s，也就是当前屏幕显示的画面，也可以是最近几帧的画面， 然后是一个或者几个卷积层，把画面变成特征向量，然后全连接层把特征向量映射到一个三维向量，由于有3个动作，所以这里的维度是3，随后使用softmax激活函数，这样的输出才是一个概率分布，输出的是一个三维向量，每一个元素对应一个动作，里面的值都是动作的概率

softmax可以让输出的都是整数，且加和=1

3、回顾一下状态价值函数：

动作价值函数QΠ是Ut的条件期望，QΠ的值依赖于policy函数Π，at，st

而状态价值函数VΠ是QΠ的期望，把QΠ中的动作A给积掉，这里的A被当作是随机变量，概率密度是Π，把A给消掉之后，VΠ就只与policy函数Π和状态st有关了

这样一旦你给定策略函数Π，VΠ就可以评价当前状态st的好坏了，VΠ越大说明当前的胜算越大

给定状态s，VΠ 可以评价策略函数Π 的好坏，如果Π很好，VΠ就会比较大，说明胜算大

4、策略学习的主要思想：

我们刚刚用策略网络来近似策略函数，这样一来，价值函数就可以写成V（s;θ），V可以评价状态s和策略网络的好坏

5、怎么让策略网络变得越来越好呢？

》不断改进调整策略网络的参数θ

这个期望是关于状态S求的，这里把状态S作为一个随机变量，用期望给去掉，这样一来变量就只剩下θ了，目标函数J（θ）就是对策略网络的评价，策略网络越好，J（θ）就越大，所以策略学习的目标就是改进θ，使J(θ)越大越好

6、怎么改进θ呢？

》使用policy gradient算法

我们让agent玩游戏，每一步都会观测到一个不同的状态s，这个s就相当于是从状态的概率分布当中随机抽样出来的，观测到状态s，把V（s,θ），关于θ求导，得到一个梯度，然后用梯度上升来更新θ，这里的β是学习率，其实这就相当于是随机梯度上升，我们算的不是梯度，真正的梯度是目标函数J（θ），关于θ的导数，这里我们算的是v关于θ的导θ数，其实就是一个随机梯度，随机性来自于S，为什么要用梯度上升呢？因为我们想要使目标函数J（θ）越来越大，这里的v关于θ的导数就被称为policy gradient（策略梯度）

7、为什么使用梯度上升来更新θ呢？

》因为沿着梯度上升的方向走，我们的目标函数J（θ）就会越接近最大值！

对函数V求导得到的是局部最大值，而对它的期望J求导得到的是全局最大值

下面来讲怎么近似计算policy gradient：

为了简化推导，假设QΠ不依赖于θ（其实是有可能依赖的），这样就可以把QΠ当成一个常数，从求导的运算中提取出来，放到导数的外面

但是实际中通常不会使用这个公式来计算策略梯度，实际通常用的都是这个策略梯度的蒙特卡洛近似

  

离散的动作： 

连续的动作：

A是连续变量，所以想要直接求这个期望就要做定积分，但是积分是做不到的，因为Π函数是个神经网络，非常复杂，没办法直接计算出来，所以只能做蒙特卡洛近似

蒙特卡洛近似的过程：

1、随机抽样一个动作记作a hat，抽样是根据概率密度函数Π来抽的

2、计算g(a hat,θ)，这里的a hat是一个确定的动作，有了a hat直接算一下g(a hat,θ)的值就好了

由于a hat是根据概率密度函数Π随机抽样出来的，所以g(a hat,θ)是策略梯度的一个无偏估计

 

由于g()是策略梯度的无偏估计，所以可以用g()来近似策略梯度，这个被称为蒙特卡洛近似，蒙特卡洛就是抽一个或者几个随机样本，用随机样本来近似期望，更新模型参数θ的时候，用g()来作为近似的梯度就可以了

总结一下策略梯度算法：

1、在第t个时间点，观测到了状态st

2、使用蒙特卡洛近似来计算策略梯度，把策略网络Π作为概率密度函数，用它随机抽样得到一个动作at，比如at是向左的动作

3、计算价值函数QΠ的值，把结果记作qt

4、对策略网络Π求导，算出logΠ关于θ的导数，得到的结果dθ,t是向量、矩阵或者是张量，dθ,t的大小和θ是一样的，如果θ是100*100的矩阵，那么dθ,t也是100*100的矩阵，tensorflow和pytorch这些系统都支持自动求梯度你告诉系统当前at,st还有当前参数θt，系统可以自动求出来梯度dθ,t

5、近似地计算策略梯度，用一个样本a来算策略梯度的蒙特卡洛近似

6、最后一步，有了近似的策略梯度，就可以用它来更新策略网络的参数θ了

 

目前还有一个没解决的问题就是QΠ是什么呢？

我们不知道QΠ，所以没法算qt，那么如何近似去算qt呢？

法一：用策略网络Π来控制agent运动，从一开始一直玩到游戏结束，把整个游戏的轨迹都记录下来，s1,a1,r1,s2,a2,r2,...sn,an,rn，观测到所有奖励r，我们就可以算出ut

由于价值函数QΠ是Ut的期望，我们可以用大Ut的观测值小ut来近似QΠ，所以reinforce强化算法就是使用观测到的ut来代替QΠ函数，reinforce算法需要玩完一局游戏，观测到所有的奖励，然后才能更新策略网络

法二：用一个神经网络来做近似：

原本已经用神经网络近似了策略函数Π，现在用另一个神经网络来近似价值函数QΠ，这样就有了两个神经网络，一个被称为Actor，一个被称为Critic，这样就有了actor-critic方法 

总结：

直接求策略函数比较困难，所以我们要用神经网络来近似测量函数

θ是神经网络的参数，一开始随机初始化，然后通过policy gradient算法来学习参数θ

这节课的主要内容就是推导策略梯度和计算策略梯度

策略梯度是价值函数V关于θ的导数，算出了策略梯度，就做梯度上升来更新参数θ，为什么要做梯度上升呢？因为我们希望价值函数V越大越好，目标函数是E(V)，可以理解为使用策略函数Π，agent的平均胜算有多大，策略函数越好，这个目标函数的值就会越大，agent的评价胜算也就越大

如果大家对这节课的内容比较迷糊的话，我会在下一篇答疑篇给大家指点一下迷津，希望能对你有所帮助！