一、最长公共子序列问题
1、问题概念
一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得 到的序列。
例如："ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的子序列。
最长公共子序列(LCS) 问题: 给定两个序列X和Y，求X和Y长度最大的公共子字列。
例:X="ABBCBDE”Y="DBBCDB”LCS(XY)="BBCD"
应用场景:字符串相似度比对
2、问题求解思路
（1）问题思考
思考: 暴力穷举法的时间复杂度是多少?
序列中的每一个值都有两种选择，被选择或者不被选择，因此一个长度为n的序列，其子序列为
种。求解长度为n和长度为m的序列的公共子序列，对比和
个子序列之间的关系，是否相同，因此时间复杂度为O(
)。
思考: 最长公共子序列是否具有最优子结构性质?
有，见解最优子结构
（2）最优子结构
（LCS的最优子结构）：令X=(
，
，......，
）和Y=(
，
，......，
)为两个序列，Z=(
，
，......，
)为X和Y的任意 LCS。
如果
= ，则 = = 且
是
和
的一个LCS。
例如：序列ABCD和ABD，其LCS为ABD，此时 = = =D，可见，AB是ABC和AB的LCS。
如果
，且
意味着Z是和Y的一个LCS。
例如：序列ABCD和ABC，其LCS为ABC，此时，即D与C不相等，则为ABC，可见，ABC是ABC和ABC的LCS。
如果
，且
意味着Z是X和的一个LCS。
例如：序列ABC和ACD，其LCS为AC，此时，即D与C不相等，则为AC，可见，AC是ABC和AC的LCS。
示例如下：
要求a="ABCBDAB"与b="BDCABA"的LCS：
由于最后一位"B“≠"A”：
因此LCS(a,b)应该来源于LCS(a[:-1],b)与LCS(a,b[:-1])中更大的那一个
（3）问题递推式
1）递推式推理说明
结合最优子结构的定理，可以得到以上的图。
举例解析：
x0都是空列表，y0也是空列表，因此与x0或者y0的LCS一定是0。
序列BDC和序列A：C != A，则LCS来源与LCS([BDC],[ ])和LCS([BD],[A])中，图中可看出，两者都为0，即LCS([BDC], [A])的左边和上边的位置。
序列BDCA和序列A：A = A，则A一定是两个序列的LCS中的一个元素，且LCS([BDC], [A])加上元素A就是LCS([BDCA], [A])。查看可知，LCS([BDC], [A]) = 0，所以LCS([BDCA], [A]) = 0 + 1(元素A)。
剩余的同理。
2）递推式
c[i,j]表示
和
的LCS长度
二、最长公共子序问题代码实现
1、最长公共子序长度求解
def lcs_length(x,y): # 公共子序列长度，x，y: 字符串、列表等序列
m = len(x) # x序列长度
n = len(y) # y序列长度
c = [[0 for i in range(n + 1)] for _ in range(m+1)] # 创建m行n列二维数组，初始值为0
for i in range(1, m+1): # 按数组的行求，x0都为0不用求，所以从1开始
for j in range(1, n+1): # 数组每行中的遍历，y0都为0，不用求
if x[i - 1] == y[j - 1]: # x[i-1]其实是字符串的i，因为i=0在二维列表中都是0，不求解，但是在字符串中仍需要从索引0遍历
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 # 递推式
else: # xi！=yi
c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i][j-1]) # 递推式
return c[m][n] # x和y的最后一个元素对比完，二维数组的最后一位
print(lcs_length('ABCBDAB', 'BDCABA'))输出结果
42、最长公共子序的序列求解
动态规划+ 回溯算法搭配使用，动态规划求解最优值，回溯法推算出过程的解。
（1）动态规划求解并存储解-代码实现
# 动态规划求解，存储解及解的计算过程
def lcs(x,y): # 求解并存储箭头方向，x，y为字符串、列表等序列
m = len(x) # x的长度
n = len(y) # y的长度
c = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储长度结果
d = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储箭头方向,1表示左上，2表示上，3表示左
for i in range(1,m+1): # 按行遍历二维数组
for j in range(1,n+1): # 每行的各数值遍历， c0j和ci0相关的值都为0，所以均从1开始
if x[i - 1] == y[j - 1]: # xi=yi的情况，二维数组中i，j=0时，都为0已经确定，但字符串x，y仍需从0开始遍历
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1 # 递推式
d[i][j] = 1 # 箭头方向左上方
elif c[i][j - 1] > c[i - 1][j]: # 递推式，选择更大的
c[i][j] = c[i][j - 1]
d[i][j] = 3 # 箭头左边
else: # c[i-1][j] >= c[i][j-1]
c[i][j] = c[i - 1][j]
d[i][j] = 2 # 箭头上方
return c[m][n], d
c, d = lcs("ABCBDAB", "BDCABA")
for _ in d:
print(_)输出结果：
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 2, 2, 2, 1, 3, 1]
[0, 1, 3, 3, 2, 1, 3]
[0, 2, 2, 1, 3, 2, 2]
[0, 1, 2, 2, 2, 1, 3]
[0, 2, 1, 2, 2, 2, 2]
[0, 2, 2, 2, 1, 2, 1]
[0, 1, 2, 2, 2, 1, 2]（2）回溯算法的应用-代码实现
# 动态规划求解，存储解及解的计算过程
def lcs(x,y): # 求解并存储箭头方向，x，y为字符串、列表等序列
m = len(x) # x的长度
n = len(y) # y的长度
c = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储长度结果
d = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储箭头方向,1表示左上，2表示上，3表示左
for i in range(1,m+1): # 按行遍历二维数组
for j in range(1,n+1): # 每行的各数值遍历， c0j和ci0相关的值都为0，所以均从1开始
if x[i - 1] == y[j - 1]: # xi=yi的情况，二维数组中i，j=0时，都为0已经确定，但字符串x，y仍需从0开始遍历
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1 # 递推式
d[i][j] = 1 # 箭头方向左上方
elif c[i][j - 1] > c[i - 1][j]: # 递推式，选择更大的
c[i][j] = c[i][j - 1]
d[i][j] = 3 # 箭头左边
else: # c[i-1][j] >= c[i][j-1]
c[i][j] = c[i - 1][j]
d[i][j] = 2 # 箭头上方
return c[m][n], d
# 回溯算法
def lcs_trackback(x,y): # 最长公共子序列的序列
c, d = lcs(x, y) # c长度，d箭头方向
i = len(x) # x的长度
j = len(y) # y的长度
res = [] # 结果列表
while i > 0 and j > 0 : # 序列x和y还有值未比对，任何一个序列为0了都不再继续
if d[i][j] == 1: # 箭头左上方 ——> 匹配
res.append(x[i - 1]) # 二维列表中i=0时，值为0，但是序列x的值是从0开始遍历的
i = i - 1 # 位置移到左上位置
j = j - 1
elif d[i][j] == 2: # 箭头上方->不匹配
i = i - 1 # 位置往上移一格
else: # dij = 3 ，箭头左向
j = j - 1 # 位置往左移一格
return "".join(reversed(res)) # 列表翻转，并将列表用''连接成字符串
print(lcs_trackback("ABCBDAB", "BDCABA"))结果输出
BCBA
