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1.为什么要使用反向传播算法

简单模型可以使用解析式更新w

复杂模型，如图，输入矩阵为5*1矩阵，等一层权重矩阵H1为6*5矩阵，则需要30个解析式，第二层权重矩阵H2为6*7矩阵，则需要42个解析式，第三层……可以看出我们无法通过解析式的方式来更新w。

因此需要反向传播算法，反向传播算法可以在网络中传播梯度，最终通过链式法则完成每个节点的梯度计算，从而完成每个节点的w更新。

反向传播算法，又称 BP 算法，它将输出层的误差反向逐层传播，通过计算偏导数来更新网络参数使得误差函数最小化。

2.二层神经网络：

 MM为矩阵乘法，ADD为矩阵加法，是预测值，w为权重，b为偏移量（bias）。

第一层H1为w1*x+b1，第二层H2为w2*H1+b2。

不难发现，如果一直进行线性变换，最终得到的化简函数依然是一个线性函数，因此需要在每一层的输出，引入一个的非线性的变换函数。

3.反向传播算法更新权值的过程

根据链式法则可以向前推出前一个节点的偏导数，根据梯度向下算法的权重更新公式=-，实现反向更新权重w。

（1） 一个计算图正向传播和反向传播的过程

如图，根据链式法则，得到，进行w更新。L为损失值Loss。

（2）具体实现过程

r为损失值loss。反向过程的最后，会得到可以根据梯度向下算法更新。

练习1：

 答案为-8

练习2：

 答案为2 ，2

3.张量Tensor

单个元素叫标量（scalar），一个序列叫向量（vector），多个序列组成的平面叫矩阵（matrix），多个平面组成的立方体叫张量（tensor）。在深度学习中，标量、向量、矩阵、高维矩阵都统称为张量。在pytorch中，一个Tensor内部包含数据和导数两部分。

线性模型pytorch实现代码：

import torch

x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]

# 将w转化为一个只含一个标量的张量
w = torch.Tensor([1.0])
# 配置
# 设置需要计算梯度
w.requires_grad = True

# 预测值函数
def forward(x):
    return x * w

# 误差值函数
def loss(x, y):
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y) ** 2

print("predict (before training)", 4, forward(4).item())
# 100轮的训练
for epoch in range(100):
    for x, y in zip(x_data, y_data):
        # 先正向传播，生成计算图
        l = loss(x, y)
        # 再反向传播，backward()用于自动计算图中所有张量的梯度（偏导数）然后存入对应张量中的grad中
        l.backward()
        # item()函数的作用是从包含单个元素的张量中取出该元素值，并保持该元素的类型不变。grad是张量,使用item()进行取值，否则会生成计算图。
        # grad和data都是torch的属性，可以直接调用
        print('\tgard:', x, y, w.grad.item())
        # 更新w的值。注意grad也是一个张量，包含data和梯度。
        # grad是张量，grad.data取到其data，grad.data不会计算图
        w.data = w.data - 0.01 * w.grad.data
        # 将w的梯度值清零
        w.grad.data.zero_()
        # 注意l也是张量，需要使用item()取值
    print("progress:", epoch, l.item())

print("predict (after training)", 4, forward(4).item())

backward()：用于自动计算图中所有张量的梯度（偏导数）然后存入对应张量中的grad中

item()：用于从包含单个元素的张量中取出该元素值，并保持该元素的类型不变

w.grad.data.zero_()：将w的梯度值清零，防止累积造成空间浪费

grad和data都是torch的属性，可以直接调用

注意：grad也是一个张量。grad.data取到其data，grad.data不会生成计算图，使用item()有等同效果。

练习（代码实现）：

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矩阵手册：http://faculty.bicmr.pku.edu.cn/~wenzw/bigdata/matrix-cook-book.pdf