[入门必看]数据结构5.1：树的基本概念
- 第五章 树与二叉树
- 5.1 树的基本概念
- 知识总览
- 5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
- 5.1.3 树的性质
- 5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
- 树的基本概念
- 树形逻辑结构的应用
- 结点之间的关系描述
- 结点、树的属性描述
- 有序树 V.S 无序树
- 树 V.S 森林
- 5.1.3 树的性质
- 常见考点1：结点数 = 总度数 + 1
- 常见考点2：度为m的树、m叉树的区别
- 常见考点3：度为m的树和m叉树的结点数
- 常见考点4：高度为h的m叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h-1}{m-1} m−1mh−1个结点。
- 常见考点5：高度为h的m叉树和度为m的树至少有几个结点？
- 常见考点6：具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈ log m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log _m\left( n\left( m-1 \right) +1 \right) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉
- 知识回顾与重要考点
- 5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
- 5.1.3 树的性质
第五章 树与二叉树
小题考频：30
大题考频：8
5.1 树的基本概念
难度：☆☆
知识总览
5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
5.1.3 树的性质
5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
树的基本概念
自然界的树：
数据结构：
对于非空树：
有且只有一个根节点，只有根节点没有前驱；
没有后继的结点称为“叶子结点”；
有后继的结点称为“分支结点”
除了根节点外，任何一个结点都有且仅有一个前驱。
每个结点可以有0个或多个后继。
这样的数据结构就不是树！
应该称为图或者是网，在下一章中学习。
树是n（n≥0）个结点的有限集合，n = 0时，称为空树，这是一种特殊情况。在任意一棵非空树中应满足：
1）有且仅有一个特定的称为根的结点。
2）当n > 1时，其余结点可分为m（m > 0）个互不相交的有限集合
T
1
,
T
2
,
…
,
T
m
T_1, T_2,…, T_m
T1,T2,…,Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树。
互不相交和每个结点只有一个前驱是同一个意思。
所谓“子树”，又可以把他看作一个新的树。
比如说把左边这个树看做一个新树：
B就成了这个子树的根节点，同样的，可以把这棵树继续分别为两个不相交的子树。
右边的子树只有一个结点：
那么可以把这颗子树看做是一个根节点的同时，它的子树都是空树的这样的一个树。
可以看出树是一种递归定义的数据结构，任何一棵树都可以看作是由根节点和若干个不想交的子树所组成的。
树形逻辑结构的应用
Eg1. 行政区划分
Eg2. 文件系统
Eg3. 思维导图
结点之间的关系描述
结点之间的关系描述来自于，家谱。
接下来看这几个术语：
-
祖先结点：从一个结点出发往上走，直到根节点为止，路上经过的所有结点都是这个结点的祖先结点。
——对于“你“”来说：是【父亲、爷爷】 -
子孙结点：从一个结点出发，分支下面的所有结点都是这个结点的子孙结点。
——对于“爷爷”来说：是【下面的所有结点】 -
双亲结点（父节点）：一个结点的直接前驱就是它的父节点。
——对于“你”来说：是【父亲】 -
孩子结点：一个结点的直接后继就是它的孩子节点。
——对于“父亲”来说：是【你】 -
兄弟结点：同一双亲结点的子结点之间互为兄弟结点。
——对于“父亲”来说：是【二叔、三叔】
——对于“你”来说：是【F】 -
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟结点的祖先。
——对于“你”来说：是【G、H、I、J】一般来说，【F】结点会被描述为“你”的兄弟结点，而不称为堂兄弟结点。
如果说，A是B的堂兄弟，那么意思就是【A和B结点在同一层】 -
两个结点之间的路径：树里面描述两个结点之间的路径的时候，这个路径是单向的【只能从上往下】。
树里面的边是有向的边，只能从上往下走。
可以说“爷爷结点”到“你结点”是有路径的。 -
路径长度：指这个路径经过了几条边
因为结点只能从上往下，所以说“你结点”到“G结点”是没有路径的。
结点、树的属性描述
属性：
-
结点的层次（深度）：从上往下数【默认从1开始】
A在第1层，BCD在第2层，EF这些在第3层，以此类推，越往下 层数越深。
从第0层开始计算的话灵活运用。 -
结点的高度：从下往上数
KLM高度是1，EF这些在第2层，以此类推，越往上 高度越高。
-
树的高度（深度）：总共多少层
这棵树的高度就是4
-
结点的度：有几个孩子（分支）
C结点只有一个分支，度为1；
B结点有两个分支，度为2；
M结点没有分支，度为0；非叶子结点（分支节点）的度 ＞ 0
叶子结点的度 = 0 -
树的度：各结点的度的最大值
这棵树的度就是3
有序树 V.S 无序树
有序树——逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能互换
无序树——逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是无次序的，可以互换
具体看你用树存什么，是否需要用结点的左右位置反映某些逻辑关系
家谱的顺序是从左到右排列的，结点次序交换会导致含义发生错误。
行政区划分的排序无所谓，为无序树
树 V.S 森林
森林。森林是
m
(
m
＞
0
)
m(m＞0)
m(m＞0)棵互不相交的树的集合
Eg. 全中国所有人家的家谱
左边这几棵树就可以组成一个森林。
如果把这几棵树都连上同一个根节点的话，那这个森林就变成了一棵树。
树可以有0个结点，即允许有空树的特殊状态；
同样的，森林也可以有0棵树，即m可为0，就是空森林。
5.1.3 树的性质
常见考点1：结点数 = 总度数 + 1
常见考点1：结点数 = 总度数 + 1
结点的度——结点有几个孩子（分支）
除了根节点，每一个分支下面都会连一个孩子
常见考点2：度为m的树、m叉树的区别
常见考点2：度为m的树、m叉树的区别
树的度：树里面各个结点的度的最大值
m叉树：每一个结点最多只能有m个孩子的树
Eg.
度为3的树，意味着至少有一个结点，其度为3；
一定是非空树，因为要保证其有一个结点中有m个孩子。
其至少有m+1个结点，m个孩子+1个根节点。
3叉树，指每个结点最多有3个孩子，如果树所有的结点都小于3，其依然是一个合法的三叉树。
m叉空树，也是允许存在的。
常见考点3：度为m的树和m叉树的结点数
常见考点3：
度为m的树第i层至多有
M
i
−
1
M^{i-1}
Mi−1 个结点（i≥1）
也可以说m叉树第i层至多有
M
i
−
1
M^{i-1}
Mi−1 个结点（i≥1）
第一层根节点，1个；
第二层最多每一个有三个，3^1个；
第三层最多每一个有三个，3^2个；
常见考点4：高度为h的m叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h-1}{m-1} m−1mh−1个结点。
常见考点4：高度为h的m叉树至多有
m
h
−
1
m
−
1
\frac{m^h-1}{m-1}
m−1mh−1个结点。
之前已经算出了每一层有多少个结点，将前h层全部加起来就是结果。
等比数列求和公式：
a
+
a
q
+
a
q
2
+
⋯
+
a
q
n
−
1
=
a
(
1
−
q
n
)
1
−
q
a+aq+aq^2+\cdots +aq^{n-1}=\frac{a\left( 1-q^n \right)}{1-q}
a+aq+aq2+⋯+aqn−1=1−qa(1−qn)
那么最少有多少个结点呢？
常见考点5：高度为h的m叉树和度为m的树至少有几个结点？
常见考点5：
高度为h的m叉树至少有h个结点。
高度为h、度为m的树至少有h+m-1个结点。
对于m叉树，只规定了每一个结点的孩子数量上限是多少，并没有规定其下限。
节点数最少的情况应该是从根结点一直往下，每个结点都只有一个孩子的情况。
对于度为m的树来说，至少要保证有一个结点有m个孩子，所以至少要有h+m-1个结点。
常见考点6：具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈ log m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log _m\left( n\left( m-1 \right) +1 \right) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉
常见考点6：具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈ log m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log _m\left( n\left( m-1 \right) +1 \right) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉
⌈ Δ ⌉ \lceil\Delta\rceil ⌈Δ⌉该符号为向上取整
高度最小的情况——所有结点都有m个孩子
高度最小，就需要保证每一个结点都有尽可能多的孩子，即m个孩子。
树就会长得更宽，高度更小。
假设这个树的最小高度是h，高度为h的m叉树至多有
m
h
−
1
m
−
1
\frac{m^h-1}{m-1}
m−1mh−1个结点。
假设n个结点至少有h层，那么n的数量肯定要大于h-1层树的上限（h-1的MAX），同时要小于等于h层树的上限（h的MAX）：
进行数学推导，乘(m-1)，取对数，解出h的值：
知识回顾与重要考点
5.1.1+5.1.2 树的定义和基本术语
- 子树的概念：树中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树
- 结点之间的路径：只能从上往下走
- 结点的度：结点的分支数
- 树的度：树中各结点的度的最大值
5.1.3 树的性质
- 注意度为m的树和m叉树之间的区别。
