题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

$1\le N\le 1000$
$-10^9\le 数列中的数\le 10^9$

https://www.acwing.com/problem/content/description/897/

输入输出样例

7
3 1 2 1 8 5 6

4

分析

来看看样例的序列 3 1 2 1 8 5 6，所求得的最长上升子序列为 1 2 5 6，即为 4。
先假设 dp(i) 定义：表示前 i 个序列的最长上升子序列。
但此时会有一个问题，我们无法确定最后一个元素的位置到底在哪，只有确定了最后一个元素的位置我们才可以向前推，因为前面所要选的元素一定比后面的小。
此时定义更改为：表示前 i 个序列的最长上升子序列，并且第 i 个元素必须要选。

• 原问题：求最长上升子序列
• 子问题：求前 i 个元素的上升子序列
• DP 定义：表示前 i 个序列的最长上升子序列，并且第 i 个元素必须要选。
• DP 方程： d p [ i ] = m a x { d p [ j ] + 1 } （ j < i ） dp[i] = max\{dp[j] + 1\}（j < i） dp[i]=max{dp[j]+1}（j<i）

代码

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), ans = 0;
        int[] A = new int[1005];
        int[] B = new int[1005];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            A[i] = sc.nextInt();
            B[i] = 1;
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j < i; j++) {
                if(A[i] > A[j]) {
                    B[i] = Math.max(B[j] + 1, B[i]);
                }
            }
            ans = Math.max(ans, B[i]);
        }
        System.out.println(ans);
    }
}