1 平面图形的面积

1.1 直角坐标情形

①平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,y=b$围成图像的面积，如下图1.1-1所示：

$s={\int }_a^{b}f(x)dx$ $s={\int }_a^b|f(x)|dx$ $s={\int }_a^b|f(x)|dx$

综上面积$s={\int }_a^b|f(x)|dx$

②平面图形由$y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$所围成图像的面积，如下图1.1-2所示：

​ $s={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$ $s={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ $s={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$

综上面积$s={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$

③平面图形由$x=f(y),x=0,y=a,y=b$围成图形面积，如下图1.1-3所示：

面积$s={\int }_a^b|f(y)|dy$

④平面图形由$x=f(y),x=g(y),y=a,y=b$所围成图像面积，如下图1.1-4所示：

面积$s={\int }_a^b|f(y)-g(y)|dy$

例1 求区间$[\frac{1}{2},2]$上连续曲线$y=\ln x,x轴及直线x=\frac{1}{2},x=2$所围图像的面积，如下图1-1所示：

$$\begin{gathered} 解：dS=\ln xdx,x\in [\frac{1}{2},2] \\ S={\int }_{\frac{1}{2}}^{2}dS={\int }_{\frac{1}{2}}^2\ln xdx=-{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}lnxdx+{\int }_1^2\ln xdx \\ =-(x\ln x-x){|}_{\frac{1}{2}}^1+(x\ln x-x{)}_1^2=\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2} \end{gathered}$$
例2 求$y^2=x,y=x^2$所围图像的面积，如下图2-1所示：

$$\begin{gathered} 解：解方程组\{\begin{array}{l}{y}^2=x\\ y=x^2\end{array}，交点为(0,0),(1,1) \\ 取x为积分变量，积分区间[0,1] \\ S={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1-\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1=\frac{1}{3} \end{gathered}$$
例3 求$y^2-2x,y=x0-4$围成图像的面积，如下图3-1所示：

$$\begin{gathered} 解：方程组\{\begin{array}{l}y=x-4,\\ y^2=2x\end{array}交点为(2,-2),(8,4) \\ 取y为积分变量，则 \\ S={\int }_{-2}^4(y+4-\frac{y^2}{2})dy=(\frac{1}{2}{y}^2+4y-\frac{1}{6}{y}^3){|}_{-2}^4 \\ =18 \end{gathered}$$

例4 求由曲线$y=x^2,y=\frac{x^2}{4}及y=1$所围成图像的面积，如下图4-1所示：

$$\begin{gathered} 解：由上图知，所围图像左右对称 \\ 取y为积分变量，则 \\ S=2{\int }_0^1(2\sqrt{y}-\sqrt{y})=\frac{4}{3}{y}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

例5 求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面积，如下图5-1所示：

$$\begin{gathered} 解：\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=b\sin t\end{array} \\ S=4{\int }_0^{a}ydx=4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\sin td(a\cos t)=4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt \\ =4ab\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\pi ab \end{gathered}$$

1.2 极坐标情形

1.2.1 极坐标的定义

为了表示平面上的点，在平面上取定一点$o$,称为极点。取定一条轴$ox$，称为极轴。这样在平面上建了一个坐标系，称为极坐标系。

如上图1.2.1-1所示，平面上任意一点p，设KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 11: |op|=\rho,\̲a̲n̲g̲ ̲xop=\theta,则数对$(\rho ,\theta )$为点p的极坐标。

极坐标与平面坐标变换公式：（原点重合）
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta ,\\ y=\rho \sin \theta \end{array} \\ \{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2},\\ \theta =\arctan \frac{y}{x}\end{array} \end{gathered}$$
注：规定$(-\rho ,\theta )=(\rho ,\theta +\pi )$

1.1.2 曲边扇形的面积

①曲边扇形：由$\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta$围成的面积
$$\begin{gathered} ds=\pi {\rho }^2(\theta )\cdot \frac{d\theta }{2\pi }=\frac{1}{2}{\rho }^2(\theta )d\theta \\ S={\int }_{\alpha }^{\beta }ds=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta \end{gathered}$$
②极点在曲线$\rho =\rho (\theta )内部$，所围成图像米面积

​ $S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\rho }^2(\theta )d\theta$

③曲边扇形由$\rho =rh{o}_1(\theta ),\rho ={\rho }_2(\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta$所围图形，如下图1.1.2-1所示：

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }|{\rho }_1^2(\theta )-{\rho }_2^2(\theta )|d\theta$$
例1 计算阿基米德螺线$\rho =a\theta (a>0)相应于\theta 从0到2\pi$的弧段与极轴围成图像的面积，如下图1-1所示：

$$\begin{gathered} 解：S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\rho }^2(\theta )d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }{\theta }^{2}d\theta \\ =\frac{4a^2}{3}{\pi }^3 \end{gathered}$$
例2 计算心形线$\rho =a(1+\cos \theta )(a>0)$所围成的图像的面积，如下图2-1所示：

$$\begin{gathered} 解：图形关于极轴对称,积分变量\theta ,区间[0,2\pi ],则 \\ S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\rho }^2(\theta )d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta \\ =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta \\ =\pi a^2+0+2a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{3a^2}{2}\pi \end{gathered}$$
例3 求$\rho =2a\cos \theta (a>0)$围成图形的面积，如下图3-1所示：

$$\begin{gathered} 解:积分变量\theta ,区间[0,2\pi ],则 \\ S=\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\rho }^2(\theta )d\theta =4a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta \\ =\pi a^2 \end{gathered}$$

注意：

• 给出曲线，但不知道夹角范围，需要自己去化简。
• 熟悉数中附录三种常见曲线。

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.