一道有趣的最长子序列问题 – 潘登同学的金融经济学笔记

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前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

所谓子序列就是一个序列 $a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}$满足$i1<i2<\cdots <in$,并不要求$i1,i2,\cdots ,in$是紧邻的，只要求下标单调递增即可；

一个具体例子：

• 一个序列$1,5,2,4,3$
• 其中存在单调递增子序列 { 1 , 5 } , { 1 , 2 , 4 } , { 1 , 2 , 3 } , { 2 , 3 } \{1,5\},\{1,2,4\},\{1,2,3\},\{2,3\} {1,5},{1,2,4},{1,2,3},{2,3}等
• 其中存在单调递减子序列 { 5 , 2 } , { 5 , 4 } { 5 , 4 , 3 } \{5,2\},\{5,4\}\{5,4,3\} {5,2},{5,4}{5,4,3}等

求解

数学证明的方法，显然我是不太会，还请各位大神赐教； 但是基于置信度的解法，我还是会一点滴；

递推公式

用一个记号$(x,y)$表示，从某个数开始，x表示从该数开头的最长递增序列，y表示从该数开始最长的递减序列；

从长度为2的序列说起

• 显然，要么是递增，要么是递减序列

到长度为3的序列

• 最后一个数的记号$(1,1)$
• 倒数第二个数的记号
  • 若：倒数第二个数比最后一个数小， 记为$(2,1)$
  • 若：倒数第二个数比最后一个数大， 记为$(1,2)$
• 倒数第三个数(第一个数)的记号
  • 在倒数第二个数的记号为$(2,1)$的前提下：
    • 若：倒数第三个数比倒数第二个数小， 记为$(3,1)$
    • 若：倒数第三个数比倒数第二个数大， 记为$(2,2)$
  • 在倒数第二个数的记号为$(1,2)$的前提下：
    • 若：倒数第三个数比倒数第二个数小， 记为$(2,2)$
    • 若：倒数第三个数比倒数第二个数大， 记为$(1,3)$

到长度为4的序列(相当于在长度为3的序列前加一个数)

• 倒数第三个数记号为$(3,1)$

  • 若倒数第四个数比倒数第三个数小，记为$(4,1)$
  • 若倒数第四个数比倒数第三个数大，记为$(3,2)$

• 倒数第三个数记号为$(2,2)$，因为$(2,2)$有两种情况

  • 第一种情况，在倒数第二个数的记号为$(2,1)$且倒数第三个数比倒数第二个数大

    • 若倒数第四个数比倒数第三个数小且比倒数第二个数小，记为$(3,2)$

    • 若倒数第四个数比倒数第三个数小且比倒数第二个数大，记为$(2,2)$
      

    • 若倒数第四个数比倒数第三个数大，记为$(2,3)$

  • 第二种情况，在倒数第二个数的记号为$(1,2)$且倒数第三个数比倒数第二个数小
    • 若倒数第四个数比倒数第三个数小，记为$(3,2)$
    • 若倒数第四个数比倒数第三个数大且比倒数第二个数小，记为$(2,2)$
    • 若倒数第四个数比倒数第三个数大且比倒数第二个数大，记为$(2,3)$
      

• 倒数第三个数记号为$(1,3)$

  • 若倒数第四个数比倒数第三个数小，记为$(2,3)$
  • 若倒数第四个数比倒数第三个数大，记为$(1,4)$

当然了，这样的递推能无限进行下去，但是我们还是想从中找到规律，当序列比较短(2,3左右)的时候，我们似乎只需要比较这个数与后一个数的大小关系，一旦序列变长了之后，我们不仅需要比较这个数与下一个数的大小关系，还需要比较这个数与后两个数的大小关系，而且还是有时候需要比较而有时又无需比较，我们需要总结一个递推式；我们将目光放到我们的记号$(x,y)$上；

• 对一个数来说，x表示从该数开头的最长递增序列，y表示从该数开始最长的递减序列；
  • 从这个数往后找，如果这个数小于找到的下一个数，那么自然能将记号x加一，表述为数学语言
    $$\begin{gathered} \forall a_i,\exists a_{i+k},若a_i<a_{i+k} \\ {x}_i\ge x_{i+k}+1 \end{gathered}$$
  • 所以关键是要找到这个数往后大于该数的数的最大的记号x和这个数往后小于该数的数的最大记号y

那么很自然地，我们就去对这个数与其后的数进行比大小，就能确定该数的记号；那么对每个数都与后面的数比一次，粗略来看算法复杂度就是$O(n^2)$

算法实现

import random
num = 4
a = [random.randint(0,400) for _ in range(num)]
print('数据len:',len(a))
print(a)

dp_x = [1 for _ in range(num)] # 记号(x,y)
dp_y = [1 for _ in range(num)] # 记号(x,y)
for i in range(num):
    index = num-1 - i # 表示现在这个数的索引
    for j in range(index+1,num):
        # 表示找到了目前为止最大的x
        if a[index] <= a[j] and dp_x[index] <= dp_x[j]:
            dp_x[index] = dp_x[j] + 1
        # 表示找到了目前为止最大的y
        if a[index] >= a[j] and dp_y[index] <= dp_y[j]:
            dp_y[index] = dp_y[j] + 1

print('最长递增子序列的长度为:',max(dp_x))
print('最长递减子序列的长度为:',max(dp_y))

算法非常简单啊， 非常长的序列我们很难验证，但是验证长度为4的序列就足够了，下面是几次运行的结果,能看出与我们的分析是一致的

接着我们来计算序列为300长度的最长子序列

import random
for _ in range(1000):
    result = []
    num = 300
    a = [random.randint(0,1000) for _ in range(num)]
    # print('数据len:',len(a))
    # print(a)

    dp_x = [1 for _ in range(num)] # 记号(x,y)
    dp_y = [1 for _ in range(num)] # 记号(x,y)
    for i in range(num):
        index = num-1 - i # 表示现在这个数的索引
        for j in range(index+1,num):
            # 表示找到了目前为止最大的x
            if a[index] <= a[j] and dp_x[index] <= dp_x[j]:
                dp_x[index] = dp_x[j] + 1
            # 表示找到了目前为止最大的y
            if a[index] >= a[j] and dp_y[index] <= dp_y[j]:
                dp_y[index] = dp_y[j] + 1

    # print('最长递增子序列的长度为:',max(dp_x))
    # print('最长递减子序列的长度为:',max(dp_y))
    result.append(max(dp_x))
    result.append(max(dp_y))
print('1000次循环中,300长度的序列中最短的最长子序列的长度为:',min(result))

显然经过1000次的模拟，得到的最短的最长子序列也是27，所以有99.99%的把握认为能找到一个长度为17的单调子序列；