第一部分：题目描述

🏠 链接：70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

⭐ 难度：简单

第二部分：思路分析

2.1 初步分析

n	跳法	规律
1	(1)
2	(1,1) (2)
3	(1,1,1) (1,2) (2,1)	最后一跳，跳一个台阶的，基于f(2) 最后一跳，跳两个台阶的，基于f(1)
4	(1,1,1,1) (1,2,1) (2,1,1) (1,1,2) (2,2)	最后一跳，跳一个台阶的，基于f(3) 最后一跳，跳两个台阶的，基于f(2)
5	…	…

其实际上，我们只需要分析青蛙的最后一跳：

如果最后一跳是跳一个台阶，那么在这之前跳过的 n-1 个台阶总共的跳法有 f(n-1) 种。
如果最后一跳是跳两个台阶，那么在这之前跳过的 n-2 个台阶总共的跳法有 f(n-2) 种。

那么我们可以得到一个青蛙的斐波拉契数列公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

所以java代码就很简单了：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            // 如果台阶为1，则调到台阶为1的跳法有1种
            return 1;
        } else if (n == 2) {
            // 如果台阶为2，则调到台阶为2的跳法有2种
            return 2;
        } else {
            // 否则调到台阶为n的跳法为：跳到台阶为n-1的跳法总数 + 跳到台阶为n-2的跳法总数
            return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
        }
    }
}

2.2 问题描述

遗憾的是，使用普通的斐波拉契递归方法会出现如下错误：

关于原因，是由于上述代码存在很多重复的计算导致了超时，例如求 $f (5)$ 递归分解过程：

可以看到（颜色相同的是重复的）：

$f (3)$ 重复了 2 次
$f (2)$ 重复了 3 次
$f (1)$ 重复了 5 次
$f (0)$ 重复了 3 次

随着 $n$ 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？

2.3 优化思路

Memoization 记忆法（也称备忘录）是一种优化技术，通过存储函数调用结果（通常比较昂贵），当再次出现相同的输入（子问题）时，就能实现加速效果。

我们需要做的，就是提前建立一个 n+2 大小的数组cache，每次递前先查询 cache[x] 是否已经缓存了 f(x) 的值：

如果没有那么就把这个 f(x) 的值放入到 cache[x] 中，下次如果再遇到要计算 f(x) 时先去数组中cache[x]寻找是否已经缓存。
如果有，就直接从缓存数组中拿到 cache[x] 作为 f(x) 的值，避免重复计算。

第三部分：代码实现

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // 建立缓存数组，大小为 n+2 是避免当n为1时存在cache[2] = 2的赋值数组越界异常。
        /// 我们规定 台阶数为 x 时，跳法f(x) 对应 cache[x]
        int[] cache = new int[n + 2];
        // 初始化：当台阶数为1时，跳法为1
        cache[1] = 1;
        // 初始化：当台阶数为2时，跳法为2
        cache[2] = 2;
        
        return recursion(cache, n);
    }

    public int recursion(int[] cache, int x) {
        // 先计算是否已经对台阶数为x的跳法f(x)值进行了缓存
        // 如果缓存了，则直接返回 cache[x] 的值
        if (cache[x] != 0) {
            return cache[x];
        }
        
        // 走到这里说明If不成立，没有缓存，则使用斐波拉契公式递归计算 f(x) 的值
        int cacheValue = recursion(cache, x - 1) + recursion(cache, x - 2);
        
        // 递归计算完成，则在数组中进行缓存
        cache[x] = cacheValue;
        // 返回 跳法种数 f(x)
        return cacheValue;
    }
}