1 CTC loss出现的背景

在图像文本识别、语言识别的应用中，所面临的一个问题是神经网络输出与ground truth的长度不一致，这样一来，loss就会很难计算，举个例子来讲，如果网络的输出是”-sst-aa-tt-e’', 而其ground truth为“state”，那么像之前经常用的损失函数如cross entropy便都不能使用了，因为这些损失函数都是在网络输出与ground truth的长度一致情况下使用的。除了长度不一致的情况之外，还有一个比较难的点在于有多种情况的输出都对应着ground truth，根据解码规则(相邻的重复字符合并，去掉blank), path1: “-ss-t-a-t-e-” 和path2: "–stt-a-tt-e"都可以解码成“state”，与ground truth对应, 也就是many-to-one。为了解决以上问题，CTC loss就产生啦~
2 CTC loss原理

2.1 前序

在说明原理之前，首先要说明一下CTC计算的对象：softmax矩阵，通常我们在RNN后面会加一个softmax层，得到softmax矩阵，softmax矩阵大小是timestep*num_classes, timestep表示的是时间序列的维度，num_class表示类别的维度。

import numpy as np
ts = 12
num_classes = 26+1 #26 for the number of english character, 1 for blank
rnn_output = np.random.random((ts, 16))#16 for hidden node number
w = np.random.random((16,num_classes))
logits = np.matmul(rnn_output,w)#logits: ts*num_classes=[12,27]
#calculate softmax matrix
maxvalue = np.max(logits, axis=1, keepdims=True)
exp = np.exp(logits-maxvalue) #minus maxvalue for avoiding overflow
exp_sum = np.sum(exp, axis=1, keepdims=True)
y = softmax = exp/exp_sum #softmax:ts*num_classes=[12,27]

2.2 forward-backward计算

其实呢，整体过程可以看做是对输入的y也就是softmax做了相应的映射得到解码结果，在希望解码结果尽量正确的情况下（使用概率来衡量），对网络的参数进行梯度下降。

只有在timestep=7时为a的路径才会使用​

进行路径的分数计算，所以求偏导的时候只对这部分路径求取就可以啦

path1：“-ss-t-a-t-e-” 第7个timestep为a, path2: "–stt-a-tt-e"第7个timestep也为a, 以a为中点，将这两条路径分别分成两段。

path1_forward: “-ss-t-” path1_backward: “-t-e-”

path2_forward: “–stt-” path2_backward: “-tt-e”

​你也会发现 path1_forward+“a”+path2_backward也能够解码成正确的”state", 我们使用path3来表示该路径 , 同样的, path2_forward+“a”+path1_backward也可以解码成正确的“state"，我们使用path4表示该路径

在下式中我们考虑​中仅仅包含path1,path2, path3, path4

其中​表示的是解码后​的长度。先看forward部分。

2.2.1 forward部分

​

这个公式计算的是所有能够解码成​的概率，

​

​

​

公式可能一下子不能理解透，举个例子好啦，先看上面的那种情况，也就是特殊情况下的递推公式：

def forward(y, labels):
    T,C = y.shape #T: timestep  
    L = len(labels)
    alpha=np.zeros([T,L])
    alpha[0,0]=y[0,labels[0]]
    alpha[0,1]=y[0,labels[1]]
    for t in range(1,T):
        for i in range(L):
            s= labels[i]
            a = alpha[t-1,i]
            if i-1>=0:
                a += alpha[t-1,i-1]
            if i-2>=0 and s!=0 and s!=labels[i-2]:
                a +=alpha[t-1,i-2]
            alpha[t,i]=a*y[t,s]
    return alpha
  
labels = [0, 19, 0, 20, 0, 1, 0, 20, 0, 5, 0]
alpha = forward(y,labels)

​ 就像刚刚所说，末尾带有blank和不带有blank都是正确的，“-s-t-a-t-e-“和”-s-t-a-t-e"都可以正确解码，所以

p = alpha[-1,lables[-1]]+alpha[-1,lables[-2]]

2.2.2 backward部分

forward讲清楚之后， backward快速的过一遍就好啦

​

这个公式计算的是所有能够解码成​的概率，

​

​

上面三个式子是说第T个timestep的解码成”blank“的概率是

​, 解码成​中第一个字符的概率是

​, 其他的字符的概率为0， 可以这样理解，如果路径能够解码成正确的”state", 那么第T个timestep的肯定是blank或者"e", 只有这样才能解码正确。 我们可以得到与forward相似的递推式：

​

套用上面forward的方式去理解，应该不难的～

def backward(y, labels):
    T,C = y.shape #T: timestep  
    L = len(labels)
    beta=np.zeros([T,L])
    beta[-1,-1]=y[-1,labels[-1]]
    beta[-1,-2]=y[-1,labels[-2]]
    for t in range(T-2，-1,-1):
        for i in range(L):
            s= labels[i]
            b = beta[t+1,i]
            if i+1<L:
                b += beta[t+1,i+1]
            if i+2<L and s!=0 and s!=labels[i+2]:
                b +=beta[t+1,i+2]
            beta[t,i]=b*y[t,s]
    return beta
  
labels = [0, 19, 0, 20, 0, 1, 0]
beta = backward(y,labels)

2.3 梯度

求了上面的forward和backward之后，就可以求解梯度啦

​

根据

可以得到

​

因为

​

所以对​求导的话， 仅有当​为类别k的那一项不为0， 其余项的偏导都为0

​

def gradient(y,labels):
    T,C = y.shape
    L = len(labels)
    alpha = forward(y,labels)
    beta = backward(y,labels)
    p = alpha[-1,-1]+alpha[-1,-2]
    gradient = np.zeros([T,V])
    for t in range(T):
        for c in range(C):
            lab = [idx for idx, item in enumerate(labels) if item == c]
            for i in lab:
                gradient[t, s] += alpha[t, i] * beta[t, i]
            gradient[t,c]/=-(y[t,c]**2)
    return gradient3

3 CTC loss优缺点

优点：在文本识别和语言识别领域中，能够比较灵活地计算损失，进行梯度下降

缺点：存在假设前提即每个lable相互独立， 因此可以计算路径的概率，才有了接下来的推导过程，但是在很多情况下上下文的label是有关联的，CTC loss很难考虑这一点，不过这些可以通过引入语言模型解码来解决啦～