题目描述

在训练神经网络时，损失函数 $(\text{Loss})$ 在最初的几个 $\text{Epoch}$ 时没有下降，可能的原因是：

$\mathcal A \quad$ 学习率 $(\text{Learning Rate})$ 太低

$\mathcal B \quad$ 正则参数 $\lambda$ 太高

$\mathcal C \quad$ 陷入局部极小值

$\mathcal D \quad$ 以上都有可能

正确答案： $\mathcal D$

题目解析

根据题干中的描述，默认的是梯度下降法，并且是训练过程中，损失函数不下降。

关于 $\mathcal A \quad$ 选项，从学习率角度观察该问题时，主要原因是：在某神经元中各权重分量取值范围不平衡 的情况下，权重初始位置处于一个平滑 $(\text{Flat})$ 范围。当学习率较小时，我们在训练初期可能无法快速找到正确的梯度方向。如下图所示的 $r_2$ 初始化位置：
学习率——损失函数不下降
针对这种情况的发生，我们自然想要增大学习率，使得平滑位置的初始化权重能够快速收敛至最优解区域(红色范围)。但实际上初始化权重的位置在权重空间中的任意位置都有可能。因此我们需要：

手动调整学习率，从而选择一个合适的初始学习率；
当损失函数收敛稳定的时候，再减小学习率，使其能够找到更好的最优点。

因此， $\mathcal A \quad$ 选项正确。

关于 $\mathcal B \quad$ 选项，我们在正则化——拉格朗日乘数法中介绍过，其目标函数 $\mathcal L(\mathcal W,\lambda)$ 可表示为如下形式：
$\begin{aligned} \mathcal L(\mathcal W,\lambda) = \mathcal J(\mathcal W) + \lambda||\mathcal W||_2 - \lambda \cdot \mathcal C \end{aligned}$

其中 $\mathcal J(\mathcal W) + \lambda ||\mathcal W||_2$ 使我们常见的基于 $L_2$ 正则化的损失函数表达形式， $\lambda$ 是一个大于 $0$ 的常数；
$\mathcal C$ 表示 $L_2$ 范数在权重空间中描述的正则化范围的半径，也是一个常数。

因而 $\lambda \cdot \mathcal C$ 并不影响权重 $\mathcal W$ 的梯度。也就是说， $\lambda \cdot \mathcal C$ 和 $\mathcal W$ 的梯度方向无关。但在梯度下降法中，其目的是在每次迭代过程中找到一个与最优梯度大小相等、方向相反的向量，因而 $\lambda \cdot \mathcal C$ 的作用是调整该数值，使得梯度向量大小与最优梯度大小相等。

这意味着， $\lambda \cdot \mathcal C$ 被约束——用于调整反向的梯度向量大小：

当 $\lambda$ 数值较大时，由于 $\lambda \cdot \mathcal C$ 被约束，则 $\mathcal C$ 值较小。 $\mathcal C$ 值小意味着 $L$ 范数在权重空间描述的正则化范围小。即便是在正则化范围内逐步找到了最优权重，但该结果依然与最优权重相差较大：

观察上图，当 $\lambda_1 >\lambda_2$ 时，对应的正则化范围半径 $\mathcal C_1 < \mathcal C_2$ ，对应的正则化范围越小。

其中红色点表示 $\mathcal C_1$ 对应正则化范围在 $\mathcal J(\mathcal W)$ 上的最优值；
同理，橙色点表示 $\mathcal C_2$ 对应正则化范围在 $\mathcal J(\mathcal W)$ 上的最优值。

很明显，橙色点比红色点更接近 $\mathcal J(\mathcal W)$ 的最优解区域(红色椭圆区域)。对应在损失函数上，橙色点的损失函数下降过程会更明显。而红色点相比之下下降缓慢甚至停止下降。这同样也是欠拟合( $\text{Under-Fitting}$ )的表现。 $\mathcal B \quad$ 选项正确。

关于 $\mathcal C\quad$ 选项，它可看做是 $\mathcal A\quad$ 选项中的一种特殊情况。当 $\mathcal J(\mathcal W)$ 比较复杂的情况下，可能存在若干个极值点：
复杂的损失函数登高线中包含若干个极值点
其中 $(1)$ 表示全局极小解区域； $(2)$ 表示鞍点； $(3)$ 表示局部极小解区域。红色点的优化路径表示期望状态下的优化路径；相比之下，橙色点与蓝色点都会使模型学习结果不准确。

如果在 $(2), (3)$ 解区域附近生成的初始权重位置，使他们更容易进入 $(2), (3)$ 解区域并在后续迭代过程中较难跳出，最终会产生损失函数在训练初期较难下降的情况。因此 $\mathcal C\quad$ 选项正确。

综合 $\mathcal A\quad \mathcal B\quad \mathcal C\quad$ 三个选项均有可能发生，因此选择 $\mathcal D \quad$ 选项。

延伸：训练过程损失函数不下降的其他情况

上述选项分别从正则化、学习率、权重初始位置三个角度描述了损失函数不下降的情况。

我们在 $\mathcal B \quad$ 选项中提到了欠拟合。引起欠拟合的原因还包含：

模型结构问题。当模型设计较简单——隐藏层、神经元少时，这可能导致模型拟合数据能力不足，具体做法是提升模型的复杂度。
权重初始化方式问题。不同的权重初始化方式会影响权重初始位置。常见的初始化方法有：零初始化、均匀分布、高斯分布等。
特征选择问题。其中一个方向是特征选择不合理，导致数据集内包含无效特征，从而增加神经网络的学习难度；具体做法是剔除无效特征。

另一个方向是样本特征过于简单、信息量不足，即便模型学习了该特征，也无法得到期望的预测结果。具体做法是考虑加入特征组合、高次特征来丰富样本的特征空间，并且高次特征能够增加模型对于高次项的调动，从而提升模型的复杂度。
详见正则化——权重衰减角度泰勒公式部分。
激活函数的选择问题。在神经网络学习过程中，可能出现饱和区间问题——输出特征大量存在与激活函数的饱和区间中，导致权重信息梯度消失，最终导致模型提前拟合。具体做法是调整合适的激活函数。如 $\text{ReLU}$ 。以及批标准化( $\text{Batch Normalization}$ )，残差网络 $(\text{ResNet})$ 等等。
挖坑，关于‘残差网络’在后续进行介绍。

除此之外，关于数据集 $\text{Batch}$ 划分问题。如果 $\text{BatchSize}$ 划分过小，会导致各 $\text{Batch}$ 内的样本子集分布之间差异较大，从而在模型学习过程中损失函数波动较大，难以收敛(有益的影响：轻易不会陷入局部极小值/鞍点)；
挖坑，后续介绍 $\text{BatchSize}$ 的划分问题。