计算机图形学学习笔记（一）

什么是计算机图形学

计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。

什么是好的画面？

从技术层面简单的评判标准：直接看画面是否足够“亮”。体现了图形学中的全局光照是否做的好，如果光照做的好，画面就亮，相反就暗。

线性代数

向量

向量的两个基础内容，方向和长度。

一、单位向量

长度为一的向量,叫单位向量。

$\hat{a}$是单位向量
$$\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

二、向量的和

$\vec{a}$为$(x_a,y_a)$

$\vec{b}$为$(x_b,y_b)$

$$\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b)$$

三、向量点乘

$\vec{a}$为$(x_a,y_a,z_a)$
$\vec{b}$为$(x_b,y_b,z_b)$

$\vec{a}$和$\vec{b}$点乘表示为：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=cos\theta |\vec{a}||\vec{b}|$$
如果$\vec{a}$和$\vec{b}$都是单位向量即 $\hat{a}$ $\hat{b}$
$$cos\theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$$
$\vec{a}$和$\vec{b}$点乘还可以表示为：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}={\vec{a}}^T\vec{b}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_a& y_a& z_a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$
点乘的作用

1. 求夹角

   将两个向量归一化得单位向量，这单位向量的点乘就是夹角的余弦值。

   即：

$$cos\theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$$
​ 补充一下余弦定理和推导过程：

​ 余弦定理公式：
$$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2-|\overrightarrow{BC}{|}^2}{2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}$$
​ 余弦定理推导过程：

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \\ {\overrightarrow{BC}}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{)}^2 \\ {\overrightarrow{BC}}^T\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{)}^T(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \\ |\overrightarrow{BC}{|}^2={\overrightarrow{AC}}^T\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^T\overrightarrow{AB} \\ |\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+|\overrightarrow{AB}{|}^2 \\ |\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2-2cos\theta |\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AB}{|}^2 \\ cos\theta =\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2-|\overrightarrow{BC}{|}^2}{2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|} \end{gathered}$$
​ 余弦定理也可以通过向量的点乘退导出来

2. 求投影

   

   求$\overrightarrow{AB}$到$\overrightarrow{AC}$的投影$\overrightarrow{AD}$

   $\widehat{AC}$是$\overrightarrow{AB}$的单位向量

   $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}|cos\theta$

   $\overrightarrow{AD}=\widehat{AC}|\overrightarrow{AD}|$

3. 接近和前后

   cos在0°到180°上值的分布情况

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   当$\overrightarrow{AB}$越接近$\overrightarrow{AC}$，θ约小的时候,$cos\theta$越接近1

   当$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$方向相反时，θ大于90°，$cos\theta$为负值，且越接近-1

   

四、向量叉乘

在右手坐标系中：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AD}$垂直于$\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AD}$垂直于$\overrightarrow{AB}$

$|\overrightarrow{AD}|=sin\theta |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$

公式：

$\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)$

$\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)$

$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}0,-z_a,y_a\\ z_a,0,-x_a\\ -y_a,x_a,0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$

叉乘的作用

1. 判断左右

   

   在左手坐标系中，$\vec{b}\times \vec{a}$和z轴为正值，说明$\vec{b}$在$\vec{a}$的顺时针方向。

2. 判断内外

   

   $\because (\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CD})\cdot (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})$的z轴为正值

   $\because (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD})$的z轴为正值

   $\therefore$ D点在ABC中间

坐标系定义

坐标分解
$$\begin{gathered} |\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1 \\ 三个向量都是单位向量 \\ \vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{w}\cdot \vec{u}=0 \\ 三个向量两两夹角都是90° \\ \vec{w}=\vec{u}\times \vec{v} \\ 向量\vec{w}垂直于向量\vec{u}和\vec{v}组成的平面 \\ \vec{p}=\left(\begin{array}{c}(\vec{p}\cdot \vec{u})\vec{u}\\ (\vec{p}\cdot \vec{v})\vec{v}\\ (\vec{p}\cdot \vec{w})\vec{w}\end{array}\right) \\ 世界坐标系向量在uvw坐标上的分量 \end{gathered}$$

矩阵

单位矩阵

$$\left(\begin{array}{c}1,0,0,0\\ 0,1,0,0\\ 0,0,1,0\\ 0,0,0,1\end{array}\right)$$

矩阵的乘积

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}{a}_{00},a_{01},a_{02},a_{03}\\ a_{10},a_{11}.a_{12},a_{13}\\ a_{20},a_{21},a_{22},a_{23}\\ a_{30},a_{31},a_{32},a_{33}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_{00},b_{01},b_{02},b_{03}\\ b_{10},b_{11}.b_{12},b_{13}\\ b_{20},b_{21},b_{22},b_{23}\\ b_{30},b_{31},b_{32},b_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_{00},c_{01},c_{02},c_{03}\\ c_{10},c_{11}.c_{12},c_{13}\\ c_{20},c_{21},c_{22},c_{23}\\ c_{30},c_{31},c_{32},c_{33}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}{b}_{00},b_{01},b_{02},b_{03}\\ b_{10},b_{11}.b_{12},b_{13}\\ b_{20},b_{21},b_{22},b_{23}\\ b_{30},b_{31},b_{32},b_{33}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}{a}_{00},a_{01},a_{02},a_{03}\\ a_{10},a_{11}.a_{12},a_{13}\\ a_{20},a_{21},a_{22},a_{23}\\ a_{30},a_{31},a_{32},a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{00},c_{01},c_{02},c_{03}\\ c_{10},c_{11}.c_{12},c_{13}\\ c_{20},c_{21},c_{22},c_{23}\\ c_{30},c_{31},c_{32},c_{33}\end{array}\right) \\ {c}_{00}=a_{00}{b}_{00}+a_{01}{b}_{10}+a_{02}{b}_{20}+a_{03}{b}_{30} \\ {c}_{01}=a_{00}{b}_{01}+a_{01}{b}_{11}+a_{02}{b}_{21}+a_{03}{b}_{31} \\ . \\ . \end{gathered}$$

$c$矩阵的第$x$行，第$y$列$c_{xy}$等于$a$矩阵的第$x$行和$b$矩阵的第$y$列相乘相加。

矩阵乘向量

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{00},a_{01},a_{02},a_{03}\\ a_{10},a_{11}.a_{12},a_{13}\\ a_{20},a_{21},a_{22},a_{23}\\ a_{30},a_{31},a_{32},a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{00}\\ b_{10}\\ b_{20}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{00}{b}_{00}+a_{01}{b}_{10}+a_{02}{b}_{20}+0\\ a_{10}{b}_{00}+a_{11}{b}_{10}+a_{12}{b}_{20}+0\\ a_{20}{b}_{00}+a_{21}{b}_{10}+a_{22}{b}_{20}+0\\ a_{30}{b}_{00}+a_{31}{b}_{10}+a_{32}{b}_{20}+0\end{array}\right)$$

矩阵变换

缩放矩阵
$$\left(\begin{array}{c}{S}_{00},0,0,0\\ 0,S_{11},0,0\\ 0,0,S_{22},0\\ 0,0,0,1\end{array}\right)$$
平移矩阵
$$\left(\begin{array}{c}0,0,0,T_{04}\\ 0,0,0,T_{14}\\ 0,0,0,T_{24}\\ 0,0,0,1\end{array}\right)$$
旋转矩阵

矩阵转置

$${\left(\begin{array}{c}1,2\\ 3,4\\ 5,6\\ 7,8\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}1,3,5,7\\ 2,4,6,8\end{array}\right)$$