C++二叉搜索树与KV模型

news2024/10/7 16:15:48

二叉搜索树与KV模型

  • 二叉搜索树
    • 概念与操作
    • 性能分析
    • 实现
    • KV模型

二叉搜索树

本章是为了C++的map和set做铺垫

概念与操作

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
在这里插入图片描述

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

二叉搜索树的查找

a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

二叉搜索树的插入

a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针。
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。

其实上面两个还是很容易实现的，最难的是删除这里，要考虑三种情况：
删除的是叶子结点，那就找到直接释放就好了。
删除的是只有一个左/右孩子的结点，那就先链接父亲结点和左/右孩子结点，然后直接删除该节点。
其实删除叶子结点可以和删除一个孩子结点的合并，因为叶子节点两个都是空，删除一个孩子的结点只有一个是空。
删除两个孩子结点的最麻烦，首先要找到替换这个结点的值，肯定是左子树最大的或者是右子树最小的。（二选一都可以，这里我选择左子树最小的）

性能分析

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二
叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​
其实二叉搜索树是一个不完整的树，遇到这种极端情况就没有办了，后面的AVL和红黑树会完成这个功能。

实现

实现这里我会写出某些成员函数的递归与迭代版本。
其实最难的是删除步骤：
在这里插入图片描述
如果是删除叶子结点直接删除就可以，只有一个孩子的就先看是只有左孩子还是只右有孩子，如果只有左孩子就让父节点的指针指向左孩子，如果只有右孩子就让父亲的指针指向右孩子，然后判断要删除的结点在父节点的左子树还是右子树，才能判断让父节点的左指针还是右指针去链接孩子。
但是这个思路还要考虑这种情况：
在这里插入图片描述
如果删除了根节点，那么就要换根。
在这里插入图片描述

如果是有两个孩子的就非常难办了，首先要去替换，这里用左子树的最小节点去替换。
先来看看第一种情况：
在这里插入图片描述
删除3，首先让3和左子树的最小值4交换（赋值也行），然后让cur记住原来是3这里，再来一个指针记录原来是4这里，再用parent指向父节点6的位置：
在这里插入图片描述
然后删除minright之前，将parent的左指针指向minright的右指针，因为minright左指针肯定是没有值了，但是右指针不一定没有。
然后是第二种情况：
删除的是根，这里只能和10交换，parent就是根，10就是minright，释放minright之前要将parent的右与minright的右链接起来。

迭代

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode//树结点
{
	BSTNode(K key)
		:_key(key)
		,left(nullptr)
		,right(nullptr)
	{}
	K _key;//结点值
	BSTNode<K>* left;//左子树
	BSTNode<K>* right;//右子树
};
template<class K>
class BSTree//树
{
	typedef BSTNode<K> Node;
public:
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	bool Insert(const K& key)//插入数据
	{

		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)//不等于空就一直找适合插入的位置
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
			parent->left = cur;
		else
			parent->right = cur;
		return true;
	}
	bool Find(const K& key)//查找
	{
		Node* cur = _root;
		if (cur == nullptr)
		{
			return false;
		}
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
				cur = cur->left;
			else if (cur ->_key < key)
				cur = cur->right;
			else
			{
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	bool Erase(const K& key)//删除数据
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else
			{
				if (cur->left == nullptr)//只有右孩子
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->right;
					}
					else if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->right;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->right;
					}
					delete cur;//释放结点
				}
				else if (cur->right == nullptr)//只有左孩子
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->left;
					}
					else if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->left;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->left;
					}
					delete cur;//释放结点
				}
				else//有两个孩子
				{
					Node* minright = cur->right;
					parent = cur;
					while (minright->left)//找到右子树最小值
					{
						parent = minright;
						minright = minright->left;
					}
					//赋值
					cur->_key = minright->_key;
					//链接
					if (parent->left == minright)
						parent->left = minright->right;
					else
						parent->right = minright->right;
					delete minright;
				}
				
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	void _InOrder()//因为不想让外界访问道内部的_root，所以只能通过成员函数内部访问
	{
		InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void InOrder(Node* root)//中序遍历
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		InOrder(root->left);
		cout << root->_key << ' ';
		InOrder(root->right);
	}

	Node* _root;//树的根结点
};

递归
递归的函数都要带头结点，也就是说又要去调用子函数的方式来调用对应的递归函数。
查找：

bool FindR(Node* root, const K& key)//记得传头结点
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key < key)
	{
		return FindR(root->right, key);
	}
	else if (root->_key > key)
	{
		return FindR(root->left, key);
	}
	else
		return true;
}

递归这里有些地方很巧妙：
插入：

bool InsertR(Node*& root, const K& key)//这里的root用了引用
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	if (_root->_key < key)
		InsertR(_root->right, key);
	else if (_root->_key > key)
		InsertR(_root->left, key);
	else
		return false;
}

为什么这里的头结点用了引用呢？是因为解决链接问题的：
在这里插入图片描述
假设这里插入了一个6，应该是在5的右孩子那里，当我们找到位置的时候，上一层传递的是5的右指针，用了引用就是5的右指针的别名，开辟空间之后直接让5的右指针就能指向这块空间。
删除：

bool EraseR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key > key)
		return EraseR(root->left, key);
	else if (root->_key < key)
		return EraseR(root->right, key);
	else
	{
		Node* cur = root;
		if (root->right == nullptr)//只有左孩子
		{
			root = root->left;//这里不仅仅找到的是key，也是父节点指向该节点的指针别名
		}
		else if (root->left == nullptr)//只有右孩子
		{
			root = root->right;//这里也不用担心删除的是根，直接就将_root指向了下一个结点
		}
		else//有两个孩子，这里的引用root就不管用了，因为引用不能改指向，在这里往下找右树最小值是行不通的
		{
			Node* parent = root->right;//去该节点的右子树查找最小值
			while (parent->left)
			{
				parent = parent->left;
			}
			swap(parent->_key, root->_key);//交换两个值
			return EraseR(root->right, key);//再次去找该节点最小值，也就是被交换的值，然后进行删除
		}
		delete cur;
		return true;
	}
	return false;
}

在这里插入图片描述
析构

	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->left);
		Destroy(root->right);
		delete root;
	}

拷贝
拷贝函数不能去一个一个插入：
在这里插入图片描述
所以说，这里只要去前序遍历，然后遇到一个结点拷贝一个结点就可以了。

Node* Copy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return nullptr;
	Node* cur = new Node(root->_key);
	cur->left = Copy(root->left);
	cur->right = Copy(root->right);
	return cur;//这里将新开辟的结点返回给上一层，让上一层的指针指向这里，就能连接起来
}

KV模型

KV模型前身还有一个K（key）模型，就是上面的搜索二叉树，比如说要检查一个英语单词写的对不对，就要创建一个词库（搜索二叉树）里面找。
KV（key/value）模型是我们去查找一个英语单词的汉译，不可能在庞大的库中一个一个寻找词汇，而是通过搜索二叉树的形式寻找，那么一个单词相对应一个汉译，这个模型叫做KV模型。
其实本质就是一个结点有两个值而已。
这里的查找就很有用了，举个例子，一个学生来图书馆借书，借了多少本书需要知道，这本书归还没有也需要知道，所以这里查找也顺便进行修改。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct BSTNode//树结点
{
	BSTNode(const K& key, const V& value)
		:_key(key)
		,_value(value)
		, left(nullptr)
		, right(nullptr)
	{}
	K _key;
	V _value;
	BSTNode<K, V>* left;//左子树
	BSTNode<K, V>* right;//右子树
};
template<class K, class V>
class BSTree//树
{
	typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
	bool Insert(const K& key, const V& value)//插入数据
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key, value);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)//不等于空就一直找适合插入的位置
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key, value);
		if (parent->_key > key)
			parent->left = cur;
		else
			parent->right = cur;
		return true;
	}
	Node* Find(const K& key)//查找
	{
		Node* cur = _root;
		if (cur == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
				cur = cur->left;
			else if (cur->_key < key)
				cur = cur->right;
			else
			{
				return cur;//找到就返回该节点
			}
		}
		return nullptr;
	}
	bool Erase(const K& key)//删除数据
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else
			{
				if (cur->left == nullptr)//只有右孩子
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->right;
					}
					else if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->right;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->right;
					}
					delete cur;//释放结点
				}
				else if (cur->right == nullptr)//只有左孩子
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->left;
					}
					else if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->left;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->left;
					}
					delete cur;//释放结点
				}
				else//有两个孩子
				{
					Node* minright = cur->right;
					parent = cur;
					while (minright->left)//找到右子树最小值
					{
						parent = minright;
						minright = minright->left;
					}
					//赋值
					cur->_key = minright->_key;
					//链接
					if (parent->left == minright)
						parent->left = minright->right;
					else
						parent->right = minright->right;
					delete minright;
				}

				return true;
			}
		}
	}
	void _InOrder()//因为不想让外界访问道内部的_root，所以只能通过成员函数内部访问
	{
		InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	bool _FindR(const K& key)
	{
		return FindR(_root, key);
	}
private:
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->left);
		Destroy(root->right);
		delete root;
	}
	void InOrder(Node* root)//中序遍历
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		InOrder(root->left);
		cout << root->_key << ' ';
		cout << root->_value << ' ';
		InOrder(root->right);
	}

	Node* _root;//树的根结点
};

void test()
{
	BSTree<string, string> tree;
	tree.Insert("1", "one");
	tree.Insert("2", "two");
	tree.Insert("3", "three");
	tree.Insert("4", "four");
	tree.Insert("5", "five");
	BSTNode<string, string>* ret;//储存返回查找到结点的值
	string str;
	while (cin >> str)
	{
		ret = tree.Find(str);
		if (ret)
			cout << ret->_value << endl;
		else
			cout << "没有此结果" << endl;
	}
}

在这里插入图片描述

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