文章目录
- 前言
- 一、概念
- 二、性质
- 三、结点的定义
- 四、红黑树的结构
- 五、插入操作
- 1.插入代码
- 2.左单旋
- 3.右单旋
- 4.插入新结点的情况分析与总结
- 第一步、按照搜索二叉树的规则插入新结点
- 第二步、分析插入结点后红黑树的性质是否被破坏
- 动态演示：
- 六、验证红黑树
- 1.检测是否满足二叉搜索树
- 2.检测是否满足红黑树性质
- 七、红黑树与AVL树的比较
- 总结
前言
前面一节我们介绍了平衡搜索二叉树AVL树，我们知道，AVL树虽然查找效率很高，但是不能过多的修改，因为它为了保持平衡要不断的进行旋转。我们今天介绍的红黑树也是一种平衡搜索树，不过它所要求的平衡没有AVL树那么严格，因此对它进行修改操作时所要进行的旋转比AVL树要进行的旋转少。
一、概念
红黑树，一种二叉搜索树，它额外在每一个结点上增加一个表示结点颜色的存储位，有Red和Black两种可能。
通过对任意一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长处二倍，因此它是接近平衡的。
二、性质
- 每个结点不是黑色就是红色；
- 根节点是黑色；
- 如果一个结点是红色，那么它的两个孩子结点是黑色；
- 对于每一个结点，从该节点到其所有后代叶子结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点；
- 每个叶子节点都是黑色（此处值空结点，即NIL结点）。
三、结点的定义
//结点的颜色
enum color
{
RED,
BLACK
};
//结点的定义
template<typename T>
struct RBnode//红黑树的结点(三叉链)
{
RBnode(T data)
:_data(data)
, _parent(nullptr)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, col(RED)
{}
T _data;//数据
RBnode* _parent;//父节点(为了方便实现旋转)
RBnode* _left;//左孩子
RBnode* _right;//右孩子
color _col;//颜色
};
看到这里，相信大家会有一个疑问:为什么默认新插入的结点颜色是红色？
答：如果我们将新结点的颜色设置为黑色，那么它一定会违背性质4（即，对于每一个结点，从该节点到其所有后代叶子结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点），这样我们就需要大幅度的在这棵树上进行调整（几乎需要所有路径进行调整），才能使它再次符合性质4；
如果我们将新结点颜色设置为红色，它有可能违背性质3（即，如果一个结点是红色，那么它的两个孩子结点是黑色），也有一定的可能不违背，即使违背性质3它所带来的后果比违背性质4严重性小很多，我们可以通过几次旋转（只对它所在的路径进行调整）使它重新符合性质3。
因为我们新插入一个结点，它不是黑色就是红色，因此一定会违反一条性质，我们选择违反后果较小的性质3。
四、红黑树的结构
五、插入操作
1.插入代码
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
Node* newnode = new RBnode<K,V>(kv);
if (!_root)//如果根节点为空，则新插入的结直接就是根节点
{
_root = newnode;
}
else
{
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;
while (cur)
{
parent = cur;
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else//树中已经有这个结点，插入失败
{
return false;
}
}
cur = newnode;
if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
Node* Grandpa = parent->_parent;
Node* uncle = nullptr;
while(Grandpa && parent->_col == RED)//如果父节点不是黑色,且父节点不是根结点
{
if (parent == Grandpa->_left)//定义叔叔结点
{
uncle = Grandpa->_right;
}
else
{
uncle = Grandpa->_left;
}
if (uncle->_col == RED)//如果叔叔存在且为红
{
Grandpa->_col = RED;
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
}
else//如果叔叔不存在，或者存在且为黑
{
//p是g的右孩子，c是p的右孩子（左单旋）
if (parent == Grandpa->_right && cur == parent->_right)
{
Rotetal(Grandpa);
Grandpa->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
//p是g的左孩子，c是p的左孩子（右单旋）
else if (parent == Grandpa->_left && cur == parent->_left)
{
Rotetal(Grandpa);
Grandpa->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
//p是g的左孩子，c是p的右孩子（左右双旋）
else if (parent == Grandpa->_left && cur == parent->_right)
{
//先以parent为轴进行左单旋
Rotetal(parent);
//再以Grandpa为轴进行右单旋
Rotetar(Grandpa);
//更新颜色
cur->_col = BLACK;
Grandpa->_col = parent->_col = RED;
}
//p是g的右孩子，c是p的左孩子（右左双旋）
else if (parent == Grandpa->_right && cur == parent->_left)
{
//先以parent为轴进行右单旋
Rotetar(parent);
//再以Grandpa为轴进行左单旋
Rotetal(Grandpa);
//更新颜色
cur->_col = BLACK;
Grandpa->_col = parent->_col = RED;
}
//旋转之后就符合性质4了，因此不用再继续更新
break;
}
cur = parent;
parent = Grandpa;
Grandpa = Grandpa->_parent;
}
if (_root->_col == RED)//如果到最后更新到根节点，导致根节点为红色，为了满足性质2（根节点是黑色），就要将根结点置为黑色
{
_root->_col = BLACK;
}
}
return true;
}
2.左单旋
//左单旋
void Rotetal(Node* parent)
{
Node* SubR = parent->_right;
Node* SubRL = SubR->_left;
Node* Grandpa = parent->_parent;
parent->_parent = SubR;
parent->_right = SubRL;
if (SubRL)
{
SubRL->_parent = parent;
}
SubR->_parent = Grandpa;
if (!Grandpa)
{
_root = SubR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == Grandpa->_left)
{
Grandpa->_left = SubR;
}
else
{
Grandpa->_right = SubR;
}
}
SubR->_left = parent;
}
3.右单旋
//右单旋
void Rotetar(Node* parent)
{
Node* SubL = parent->_left;
Node* SubLR = SubL->_right;
Node* Grandpa = parent->_parent;
parent->_parent = SubL;
parent->_left = SubLR;
if (SubLR)
{
SubLR->_parent = parent;
}
SubL->_parent = Grandpa;
if (!Grandpa)
{
_root = SubL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == Grandpa->_left)
{
Grandpa->_left = SubL;
}
else
{
Grandpa->_right = SubL;
}
}
SubL->_right = parent;
}
4.插入新结点的情况分析与总结
第一步、按照搜索二叉树的规则插入新结点
如果该树是空树，就让新结点作为它的根节点。
先找到要插入的位置，比当前结点小就向左子树寻找，比当前结点大就向右子树寻找。
第二步、分析插入结点后红黑树的性质是否被破坏
新结点默认为红色，
1.如果双亲节点的颜色是黑色，则没有违反红黑树性质，不需要调整；
2.如果双亲节点的颜色是红色，则违反性质4需要进行调整。
为了方便分析，我们约定当前结点为cur©，当前节点的父节点为parent§，当前节点的祖父结点为Grandpa(g),当前结点的叔叔结点为uncle（c）.。
- 情况一：c为红色，p为红，g为黑，u存在且为红
只需要将p和u的颜色置为黑色，g的颜色置为红色。
如果g是根节点，调整之后只需要将g改为黑色即可；
如果g是子树，那么g一定有双亲结点，如果g的双亲结点为红色，就需要继续向上调整。 - 情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑
-
- 如果u不存在，则说明cur是新增节点。因为如果cur不是新增节点，那么cur和p一定有一个是黑色，那么就不满足性质4（每条路径上的黑色结点的个数相同）；
-
- 如果u存在且为黑，则说明cur原本就存在且为黑。现在是红色是因为cur所在子树新增节点导致向上调整颜色的过程中将cur置为红色。
这种情况有四种可能：
- 如果u存在且为黑，则说明cur原本就存在且为黑。现在是红色是因为cur所在子树新增节点导致向上调整颜色的过程中将cur置为红色。
- p是g的左孩子，c是p的左孩子；（要进行右单旋）
以g为轴进行右单旋：
更新结点p为黑色，cur和g为红色。 - p是g的右孩子，c是p的右孩子；（要进行左单旋）
以g为轴进行左单旋：
更新结点p为黑色，cur和g为红色。 - p是g的左孩子，c是p的右孩子；（要进行左右双旋）
先以p为轴进行左单旋，再以g为轴进行右单旋：
更新结点cur为黑色，p和g为红色。 - p是g的右孩子，c是p的左孩子。（要进行右左双旋）
先以p为轴进行左单旋，再以g为轴进行右单旋：
更新结点cur为黑色，p和g为红色。
动态演示：
升序：
降序：
随机插入构建红黑树：
右旋转：
左旋转：
六、验证红黑树
验证红黑树分为两步：
1.检测是否满足二叉搜索树
中序遍历是否为有序序列
2.检测是否满足红黑树性质
代码如下：
bool IsValidRBTree()//验证是否为红黑树
{
Node* pRoot = GetRoot();
// 空树也是红黑树
if (nullptr == pRoot)
return true;
// 检测根节点是否满足情况
if (BLACK != pRoot->_col)
{
cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
size_t blackCount = 0;
Node* pCur = pRoot;
while (pCur)
{
if (BLACK == pCur->_col)
blackCount++;
pCur = pCur->_left;
}
// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
//走到null之后，判断k和black是否相等
if (nullptr == pRoot)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 统计黑色节点的个数
if (BLACK == pRoot->_col)
k++;
// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
Node* pParent = pRoot->_parent;
if (pParent && RED == pParent->_col && RED == pRoot->_col)
{
cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
_IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
}
七、红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删查改的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N),红黑树不追求绝对平衡，只要保证最长路径不超过最短路径的两倍。相对而言，插入和旋转的次数更少，在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树的实现比AVL树简单，因此更加常用。
总结
以上就是今天要讲的内容，本文介绍了C++中红黑树的相关概念。本文作者目前也是正在学习C++相关的知识，如果文章中的内容有错误或者不严谨的部分，欢迎大家在评论区指出，也欢迎大家在评论区提问、交流。
最后，如果本篇文章对你有所启发的话，希望可以多多支持作者，谢谢大家！
