样本于抽样分布(1)-基本概念

news2024/11/30 8:38:40

从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的试验，被研究的随机现象的规律
性就能清楚地呈现出来．但实际上，试验的次数只能是有限的，有时甚至是很少
的，因为采集某些数据时，常要将研究的对象破坏．例如，观测灯泡的寿命时，就一
定要把它用坏；检查炮弹性能时，就需要将它发射出去．有时即使不破坏对象，时
间、财力和人力也不允许．特别当信息具有很强的时效性时，旷日待久的大量检查
或试验，只能获得陈旧的、毫无意义的信息．因此，数理统计要研究的问题便是怎样
选择有效的抽样方法采集数据（抽样），并利用抽样获得的有限数据，对被研究的随
机现象的规律性作出尽可能精确而可靠的结论（推断).

在数理统计中研究的基本问题有四个：参数估计、假设检验、方差分析和回归
分析为此，先引入几个基本概念.

1.1 总体与样本

在数理统计中，通常把所研究对象的全体称为总体（或母体），而把组成总体的
每个元素称为个体．例如，某工厂生产的灯泡的寿命就是一个总体，而每个灯泡的
寿命则是一个个体．

代表总体的指标（如灯泡寿命、钢筋强度等）的取值都有一定的随机性，因此，
它们都是随机变量．所以，总体就是某个随机变量可能取值的全体，常用X,Y,Z
(或 $\varepsilon,\mu,\varsigma$ )等表示．总体的概率分布就是该随机变量的概率分布．

从总体X中抽取一个个体，就是对代表总体的随机变量X进行一次试验（观
测）．从总体中随机地抽取n个个体：

就是对随机变量X进行了一组试验．通常把由这n 个试验组成的试验组(1.1)称
为总体X的一个样本（或子样），样本中个体的数目n称为样本容量，其中 $X_i$ 称为
样本的第i个分量．

由于每个 $X_i$ 都是从总体X中随机抽取的，在抽取之前，它可能取得X所有可能取值中的任何一个，可见这里的每个 $X_i$ 都是一个随机变量，因此 $(X_1,X_2,...,X_n)$ 就是一个n维随机变量．在抽取之后，每一个 $X_i$ 的值已完全确定，它是一个数，是对 $X_i$ 的一次观测值，记作 $x_i$ 这时称

为样本(1.1)的一个观测值，简称样本观测值．

我们抽取样本的目的是为了对总体的分布进行分析和推断．因此要求抽样具有代表性，即应使总体的每个个体都有同等的机会被抽到，或每个样本分量 $X_i$ 都与总体X 有相同的概率分布．此外，还要求抽样必须是独立的，即要求样本 $X_i,X_2,...,X_n$ 为相互独立的随机变量，或每个分量的观测结果不影响其他分量的观测结果，也不受其他观测结果的影响．这样抽取的样本称为简单随机样本．获得简单随机样本的方法称为简单随机抽样，今后，凡是提到样本和抽样，都是指简单随机样本和简单随机抽样．

1.2 统计量和样本矩

样本来自总体，是总体的代表，是统计推断的依据．但是我们抽取样本之后，并不直接用样本进行推断，而常需要对样本进行一番加工和提炼，把样本中包含的我们所关心的信息集中起来，以便对总体的某种特性作出推断．

例如，当我们取得总体X的一个样本 $X_i,X_2,...,X_n$ 时，常构造样本的平均值

来推断总体的均值当然，为了推断总体的其他特性，还要用到样本的其他函数．为此，我们引入下面的定义．

定义1. 1. 1 设 $X_i,X_2,...,X_n$ 是来自总体X的一个样本，如果函数 $\varphi(x_1,x_2,...,x_n)$ 为 $x_1,x_2,...,x_n$ 的一个实值函数，且 $\varphi$ 中不包含任何未知参数，那么称 $T=\varphi(X_1,X_2,...,X_n)$ 为一个统计量。