3D 变换

同样引入齐次坐标：

• 3D 点 = $(x,y,z,1{)}^T$
• 3D 向量 = $(x,y,z,0{)}^T$
  通常，$(x,y,z,w)$(w != 0) 表示一个坐标为 $(x/w,y/w,z/w)$ 的 3D 点

用一个 4x4 的矩阵来表示 3D 的仿射变换
$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

2D/3D 变换中，是先做旋转(线性变换)再做平移

缩放(Scale)

$S(s_x,s_y,s_z)$ = $\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

平移(Translation)

$T(t_x,t_y,t_z)$ = $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

旋转(Rotation)

绕 x, y, z 三个轴分别做旋转的情况:

• 绕 X 轴旋转
  $R_x(\alpha )$ = $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0& sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
• 绕 Y 轴旋转
  $R_y(\alpha )$ = $\left(\begin{array}{cccc}cos\alpha & 0& sin\alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
• 绕 Z 轴旋转
  $R_z(\alpha )$ = $\left(\begin{array}{cccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0& 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

提示: R_y 中 $-sin\alpha$ 而 R_x 和 R_z 中是 $sin\alpha$ 的原因是, Y 轴是由 Z 叉乘 X 得到的，而不是 X 叉乘 Z(右手定则).

3D 旋转(3D Rotation)

任意的 3D 旋转都可以表示为绕 X Y Z 轴旋转的组合，公式如下
$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ = $R_x(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma )$

什么是欧拉角

其中，$\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别代表绕 X Y Z 三个轴旋转的角度，叫做欧拉角 （pitch, yaw, roll）
pitch 是围绕 X 轴旋转，也叫做俯仰角
yaw 是围绕 Y 轴旋转，也叫偏航角
roll 是围绕 Z 轴旋转，也叫翻滚角

罗德里格斯旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)

Viewing transformation

这里的 Viewing transformation 包括 View(视图)/Camera 变换和 Projection(投影) 变换

投影变换包括： 正交(Orthographic)投影和透视(Perspective)投影

什么是 View / Camera Transformation

思考怎么拍一张照片？

1. 找到一个合适的地方并且排列好拍照的人 (模型变换 Model Transformation)
2. 找到一个合适的拍照角度放置相机 (视图变换 View Transformation)
3. 拍照 (投影变换 Projection Transformation)
   简称 MVP

怎么进行视图变换(View/Camera Transformation)?
首先定义相机的姿态(位置$\vec{e}$，看的方向$\hat{g}$，向上方向(up direction, $\hat{t}$))

相机标准位置(约定俗成)

相机的位置为原点(0, 0, 0), Y 轴向上，看向 -Z，物体随着相机变换

View Transformation 操作的是相机，其他物体跟着进行同样的变换

怎样将一个相机从一个任意的摆放，放到一个标准位置

• 将 $\vec{e}$ 平移到原点
• 将 $\hat{g}$ 旋转到 -Z
• $\hat{t}$ 旋转到 Y
• 旋转 $(gxt)$ 到 X (注解: g 叉乘 t 得到 $\vec{t}\vec{g}$ 坐标系的另一个轴)与 X 对应

使用数学方式表示相机到标准位置的变换

第一步，先做 $\vec{e}$ 到原点的平移，$T_{view}$ 如图
第二部，因为计算从 g 到 -Z, t 到 Y, (g x t) 到 X 的旋转矩阵 $R_{view}$ 比较困难，则先考虑 X 到 (g x t), Y 到 t, Z 到 -g，然后在求逆, 因为旋转矩阵就是一个正交矩阵，对求得旋转矩阵做一个转置，则可得到 g 到 -Z, t 到 Y, (g x t) 到 X 的旋转矩阵 $R_{view}$

相机按照此变换矩阵进行变换之后，相机内的物体都需按照此矩阵进行同样的变换。

View/Camera Transformation 是为了 Projection Transformation 做准备

投影变换(Projection Transformation)

前面说到投影变换分为正交投影(Orthographic Projection) 和透视投影(Perspective Projection)

正交投影和透视投影的区别

正交投影, 不会给人带来近大远小的视觉(错觉)，通常用在工程制图方面。
透视投影, 会给人带来近大远小的视觉(错觉)

正交投影

正交投影简单的理解/做法：

1. 将相机放置在原点，看向 -Z，Y 是向上方向
2. 那么如果直接将 Z 坐标直接扔掉，就可很方便的得到一个(x, y)二维平面的图形。
3. 之后在将其平移和缩放到一个 [-1, 1] 的矩形内。
   
   通常的做法:
   将一个立方体的 [左(left), 右(right)] x [下(bottom), 上(top)] x [远(fast), 近(near)] 映射到一个 canonical 的立方体上$[-1,1{]}^3$
   
   通常的做法与简单的做法的区别:

• 通过平移将立方体居中
• 通过缩放将立方体变为 “canonical” 立方体

此种情况下，对于 X 和 Y 都是 l, b 在 X, Y 轴的负半轴，r 和 t 在 X, Y 轴的正半轴, 则都是 r > l, t > b。而 f 在 Z 的负半轴(Camera 看向 -Z)，n 在 Z 的正半轴，所以当立方体距离相机近的 n 的值是大于距离相机远的 f(正常应该是距离越远，值越大)。这也是 OpenGL 为什么使用左手系的原因.

正交投影的变换矩阵

$\frac{2}{r-l}$ 是将立方体的长度缩放到 [-1, 1] 的范围内，对于它的 Y 和 X 是同样的操作。
$-\frac{r+l}{2}$ 是 X 轴的平移，对于它的 Y 和 X 是同样的操作

透视投影(Perspective Projection)

回顾一下齐次坐标的概念:
$(x,y,z),(kx,ky,kz,k!=0),(xz,yz,z^2,z!=0)$ 都表示在 3D 空间中的同一个点 $(x,y,z)$ 。
例如，$(1,0,0,1)$ 和 $(2,0,0,2)$ 都表示 $(1,0,0)$

怎样实现透视投影

• 先将 Frustum 挤压称为一个长方体(n -> n, f -> f)($M_{persp->ortho}$)
• 然后做正交投影
  

计算透视投影的变换矩阵

与 $y^{\prime }$ 类似的 $x^{\prime }=\frac{n}{z}x$
那么在齐次坐标系中就有：