一、题目

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/description/

二、算法思路

本题和 最长回文子串（动态规划）类似，使用动态规划方法解决。

1、定义状态：$dp[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 是否为回文子串，如果是，$dp[i][j]=true$，否则为 $false$。
2、初始化状态：单个字符是回文子串，$dp[i][i]=true$。
3、状态转移：枚举区间长度，从小到大计算 $dp[i][j]$ 的值，具体的转移方程为：

dp[i][j] = true,                            i == j
           s[i] == s[j],                    j = i + 1
           s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1],    j > i + 1

回文子串的长度可以是 1 或 2，因此先将所有长度为 1 或 2 的子串作为回文子串进行初始化。

然后，从长度为 3 开始枚举所有可能的回文子串，通过状态转移方程dp[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j) && dp[i+1][j-1]) 计算出 dp[i][j] 的值。

最后统计回文子串的个数。

三、代码实现

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int n = s.length();
        int ans = 0;
        boolean[][] dp = new boolean[n][n];
    
        // 枚举回文子串的长度，从 1 到 n
        for (int len = 1; len <= n; len++) {
            // 枚举回文子串的起始位置 i，结束位置 j
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                int j = i + len - 1;    //回文子串右边界位置
                if (j >= n) {   //右边界位置超过字符串长度跳出循环
                    break;
                }
                if (len == 1) {
                    dp[i][j] = true;
                } else if (len == 2) {
                    dp[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j));
                } else {
                    dp[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j) && dp[i+1][j-1]);
                }
                if (dp[i][j]) { //统计回文子串个数
                    ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

四、复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n^2)$
• 空间复杂度: $O(n^2)$