AcWing蓝桥杯辅导课：第三讲 数学与简单DP

news2024/9/20 17:46:02

AcWing 1205. 买不到的数目

在这里插入图片描述
思路：

裴蜀定理: 对任何整数 a a a、 b b b，存在整数 x x x、 y y y，使得 a x + b y = ( a , b ) ax + by = (a, b) ax+by=(a,b)， ( a , b ) (a, b) (a,b)表示 a a a、 b b b的最大公因数，令 d = ( a , b ) d=(a, b) d=(a,b)。若 d = 1 d = 1 d=1，则 a n x + b n y = n d anx + bny = nd anx+bny=nd， n n n 的取值即为整数 a a a、 b b b可以凑得的方案数，整数 a a a、 b b b凑不出来的数有一个上界，且一定小于 a b ab ab，因此可以枚举求凑不出来的最大值，或者使用结论：不能被表示出来的数有一个上界，上界为 a b − a − b ab - a - b ab−a−b。

相关证明：a,b组合数不能表示的上界

思路：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/2/27 9:30
 */
public class Main {

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] nm = in.readLine().split(" ");
        
        int n = Integer.parseInt(nm[0]), m = Integer.parseInt(nm[1]);
        
        out.println(n * m - n - m);
        out.flush();
    }

}

AcWing 1211. 蚂蚁感冒

在这里插入图片描述
思路：

首先判断感冒的蚂蚁往哪走。

  1. 往左走，则在该蚂蚁左边且往右走的蚂蚁都会感染。
  2. 往右走，则在该蚂蚁右边且往左走的蚂蚁都会感染。

否则最后感染的只有初始感冒的那一只。

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/3/1 9:22
 */
public class Main {

    static final int N = 55;
    static int[] a = new int[N];
    static int n;

    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        n = Integer.parseInt(in.readLine());
        String[] s = in.readLine().split(" ");
        int start = 0, l = 0, r = 0;
        // 1表示正，-1表示负
        int f = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = Integer.parseInt(s[i - 1]);
            if (i == 1)
            {
                start = a[i];
                f = start > 0 ? 1 : -1;
            }
            // 往右走并且在感冒蚂蚁左边的
            if (a[i] > 0 && Math.abs(a[i]) < Math.abs(start)) l++;
            // 往左走并且在感冒蚂蚁右边的
            if (a[i] < 0 && Math.abs(a[i]) > Math.abs(start)) r++;
        }

        // 感冒蚂蚁往右走 但是 右边没有往左走
        // 感冒蚂蚁往左走 但是 左边没有往右走
        if ((f == 1 && r == 0) || (f == -1 && l == 0)) out.println(1);
        else out.println(l + r + 1);
        out.flush();

    }
}

AcWing 1216. 饮料换购

在这里插入图片描述
思路：

瓶盖数等于饮料数，每换一瓶饮料，瓶盖数 - 3，饮料数 + 1， 瓶盖数 + 1，最后当瓶盖数小于3时，就不能换购了。

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/2/27 9:34
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        int n = Integer.parseInt(in.readLine().split(" ")[0]);
        int ans = n;
        // 瓶盖数
        int cnt = n;

        while (cnt >= 3) {
            int tmp = cnt / 3;
            ans += tmp;
            cnt %= 3;
            cnt += tmp;
        }

        out.println(ans);
        out.flush();
    }
}

AcWing 2. 01背包问题

在这里插入图片描述

思路：
01背包问题，表示每个物品要么放，要么不放。从集合的角度分析DP问题，状态表示为：选择前i个物品，总体积小于等于j的选法的集合，属性f[i][j]表示价值的最大值。状态计算，因为每个状态可以表示为选择当前的物品，或者不选当前的物品，二者价值取最大值即可，即状态转移方程为:
f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − v i ] + w i ) , j ≥ v i f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v_i]+w_i), j \ge v_i f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−vi​]+wi​),j≥vi​

一维优化

f[i][j] = f[i - 1][j];
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

变化为
f[j] = f[j] // 省略
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])

由于f[i][j]需要用到第i - 1层的结果，j-v[i]严格小于j, j - v[i] 在第i层已经被算过了，所以用j-v[i]更新j时，用的是第i层的结果，j逆序，则 j 会比 j - v[i]先被计算，所以用到 j - v[i]时，用的是上一层即第 i - 1层的结果。

代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/2/27 9:39
 */
public class Main {

    static final int ln = 1005;
    static int[] v = new int[ln], w = new int[ln];
    static int[] dp = new int[ln];
    static int N, V;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] nv = in.readLine().split(" ");
        N = Integer.parseInt(nv[0]);
        V = Integer.parseInt(nv[1]);

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            String[] s = in.readLine().split(" ");
            v[i] = Integer.parseInt(s[0]);
            w[i] = Integer.parseInt(s[1]);
        }
        
        for (int i = 1; i <= N; i++) 
            for (int j = V; j >= v[i]; j--)
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            
        out.println(dp[V]);
        out.flush();
    }
}

AcWing 1015. 摘花生

在这里插入图片描述

思路：

到达每一点有两种方式，一种是从该点左边，一种是从该点上边到达，则最大价值即为这两种方式的最大价值，加上该点的价值。

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;


/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/3/1 9:55
 */
public class Main {
    static final int N = 105;
    static int[][] f = new int[N][N];
    static int t, r, c;

    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        String T = in.readLine();
        t = Integer.parseInt(T);

        while (t-- != 0) {
            String[] rc = in.readLine().split(" ");
            r = Integer.parseInt(rc[0]);
            c = Integer.parseInt(rc[1]);

            for (int i = 1; i <= r; i++) {
                String[] s = in.readLine().split(" ");
                for (int j = 1; j <= c; j++) {
                    f[i][j] = Integer.parseInt(s[j - 1]);
                }
            }

            for (int i = 1; i <= r; i++) {
                for (int j = 1; j <= c; j++) {
                    f[i][j] += Math.max(f[i][j - 1], f[i - 1][j]);
                }
            }

            out.println(f[r][c]);
            out.flush();
        }
    }
}

AcWing 895. 最长上升子序列

在这里插入图片描述
思路：

线性DP的使用，状态是一维的，转移又是一维的，所以一共是两维。枚举每一个整数，则以该整数结尾的子序列的长度初始化为1，枚举该数之前的数，若大于之前的数，则状态转移，取长度的最大值。最后计算以每个整数结尾的子序列长度的最大值。

状态转移方程：

d p [ i ] = m a x ( d p [ i ] , d p [ j + 1 ] + 1 )   a [ i ] > a [ j ] ,   1 ≤ j ≤ i dp[i] = max(dp[i], dp[j+1] + 1) \: a[i] > a[j] ,\: 1 \le j \le i dp[i]=max(dp[i],dp[j+1]+1)a[i]>a[j],1≤j≤i

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/2/27 9:54
 */
public class Main {

    static final int ln = 1005;
    static int[] a = new int[ln];
    static int[] dp = new int[ln];
    static int n;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] nv = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(nv[0]);

        String[] s = in.readLine().split(" ");

        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = Integer.parseInt(s[i - 1]);

        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j > 0; j--) {
                if (a[i] > a[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            ans = Math.max(ans, dp[i]);
        }


        out.println(ans);
        out.flush();
    }
}

AcWing 1212. 地宫取宝

在这里插入图片描述
思路：

本题数据范围较小，所以可能有多维，用闫氏DP分析法进行分析。

在这里插入图片描述
由于 0 ≤ C i ≤ 12 0 \le C_i \le 12 0≤Ci​≤12，放价值为0的和不放物品等价，为了区分，将每一个物品的价值加一，则 1 ≤ C i ′ ≤ 13 1 \le C_i' \le 13 1≤Ci′​≤13。

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

/**
 * @Description
 * @Author: PrinceHan
 * @CreateTime: 2023/3/1 10:15
 */
public class AC1212 {

    static final int N = 55, mod = 1000000007;
    static int[][] c = new int[N][N];
    // 前两维表示位置，第三维表示取了k个物品，第思维表示当前最大值
    static int[][][][] f = new int[N][N][13][14];
    static int n, m, k;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] nmk = in.readLine().split(" ");

        n = Integer.parseInt(nmk[0]);
        m = Integer.parseInt(nmk[1]);
        k = Integer.parseInt(nmk[2]);


        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            String[] s = in.readLine().split(" ");
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                c[i][j] = Integer.parseInt(s[j - 1]);
                // 因为不放物品与放价值为0的物品 价值是一样的 加1是为了区分
                // -1~12 0~13
                c[i][j]++;
            }
        }

        // 不取第一个物品的方案数为1
        f[1][1][0][0] = 1;
        // 取第一个物品的方案数为1
        f[1][1][1][c[1][1]] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                for (int u = 0; u <= k; u++) {
                    for (int v = 0; v <= 13; v++) {
                        // 不选 (i, j)
                        f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u][v]) % mod;
                        f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u][v]) % mod;
                        // 选 (i, j) v表示选择之后价值的最大值，所以选择的话 c[i][j] = v
                        if (u > 0 && c[i][j] == v) {
                            for (int c = 0; c < v; c++) {
                                f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u - 1][c]) % mod;
                                f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u - 1][c]) % mod;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }

        int res = 0;
        for (int i = 0; i <= 13; i++)
            res = (res + f[n][m][k][i]) % mod;

        out.println(res);
        out.flush();
    }

}

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2023年3月1日&#xff0c;上海捍宇医疗科技股份有限公司&#xff08;下称“捍宇医疗”&#xff09;递交招股书&#xff0c;准备在科创板上市。据贝多财经了解&#xff0c;捍宇医疗曾冲刺港交所上市&#xff0c;并于2021年9月通过聆讯&#xff0c;但最终放弃了港交所上市的打算。…
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黑马程序员4小时入门Vue传送门 1. 简介 Vue是一个操作JavaScript的框架&#xff0c;类似于jQuery&#xff0c;但比jQuery好用&#xff0c;是现在的主流 2. 测试例子 <!DOCTYPE html> <html lang"en"><head><meta charset"UTF-8" /&…
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LeetCode-746. 使用最小花费爬楼梯

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题目来源 746. 使用最小花费爬楼梯 动态规划 动态规划五部曲 1.确定dp数组以及下标的含义 使用动态规划&#xff0c;就要有一个数组来记录状态&#xff0c;本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。 dp[i]的定义&#xff1a;到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。 2.确定递推…
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link1 link2 Stable Diffusion is a machine learning model that can generate images from natural language descriptions. Because it’s open source, it’s also easy to run it locally, which makes it very convenient to experiment with in your own time. The sim…
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