一、背包能否装满？

416. 分割等和子集

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 01背包：逆序遍历
    // 组合问题：先背包后容量
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int m = nums.size();
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if(sum & 1) return false;
        int n = sum / 2;
        vector<int> dp(n + 1, 0);        // dp[j]：容量为j的背包，最多装入重量为dp[j]的物品
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = n; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[n] == n;
    }
};

dp背包问题——416. 分割等和子集

1049. 最后一块石头的重量 II

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 01背包：逆序遍历
    // 组合问题：先物品、后容量
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int m = stones.size();
        int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        int n = sum / 2;
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[j]：容量为j的背包，最多装dp[j]的石头
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = n; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[n];
    }
};

dp背包问题——1049. 最后一块石头的重量 II

二、装满背包有几种方法？

494. 目标和

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 01背包：逆序遍历
    // 组合问题：先物品，后容量
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if((sum + target) & 1) return 0;
        int m = nums.size();
        int n = (sum + target) / 2;
        if(n < 0) return 0;
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[j]：装满容量为j的背包，有dp[j]种方法
        dp[0] = 1;                 // 装满容量为0的背包，只有1种方法
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = n; j >= nums[i]; j--){
                // 多了一个物品可选择后，装满背包的方法数就是 ：（没有当前物品可选时的方法数 + 选了当前物品的方法数）
                dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

dp背包解决组合问题——494. 目标和

518.零钱兑换II

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 完全背包：顺序遍历
    // 组合问题：先物品、后容量
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int m = coins.size();
        int n = amount;
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[j]：装满容量为j的背包，有dp[j]种方式
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = coins[i]; j <= n; j++){
            	// 多了一个物品可选后，装满背包的方法数就是 ：（没有当前物品可选时的方法数 + 选了当前物品的方法数）
                dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

dp完全背包问题解组合问题——零钱兑换

377. 组合总和 Ⅳ

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 完全背包：顺序遍历
    // 排列问题：先容量，后物品
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int m = nums.size();
        int n = target;
        vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[j]：装满容量为j的背包，物品的组合数为dp[j]
        dp[0] = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            for(int i = 0; i < m; i++){
                if(j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

70. 爬楼梯

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 完全背包：顺序遍历
    // 排列问题：先容量，后物品
    int climbStairs(int n) {
        int m = 2;
        int nums[2] = {1,2};
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[j]：装满容量为j的背包，有dp[j]种方法
        dp[0] = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            for(int i = 0; i < m; i++){
                if(j >= nums[i]) dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

排列问题：先容量，后物品

如果物品为{1，2}，假如此时容量为2（容量为1的背包只能装物品1），用当前容量遍历多个物品，可以选择在装了物品1的基础上接着装，也可以选择不在其基础上装，直接装入物品2。当容量为3时，也可以选择在装有物品2的基础上再装入物品1，这样就出现了{2，1}

组合问题：先物品，后容量

如果物品为{1，2，3}，假如此时容量为5

在这里插入图片描述
只有物品1，用各个容量遍历，此时无论是什么容量的背包，都只能放入物品1
此时我们手拿着物品2，对于每一个容量，要么直接使用现在就装满的背包，要么找一个剩余容量为2的背包放入当前物品2
接着我们手拿着物品3，对于每一个容量，要么直接使用现在就装满的背包，要么找一个剩余容量为3的背包放入当前物品3

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1];  // 要么爬1个台阶，要么2个台阶
        }
        return dp[n];
    }
};

三、背包装满的最大价值

474.一和零

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 01背包：逆序遍历
    // 组合问题：先物品、后容量
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));  // dp[i][j]：装满容量为ij背包的最大价值
        for(string& s : strs){
            int w0 = 0;
            int w1 = 0;
            for(char c : s){
                if(c == '0') w0++;
                else w1++;
            }
            // 每次循环计算出的dp[m][n]表示只有前几个物品可选时，所获得的最大价值
            for(int i = m; i >= w0; i--){
                for(int j = n; j >= w1; j--){
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - w0][j - w1] + 1);  // 1表示价值
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

四、装满背包最小物品数

322. 零钱兑换

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 问装满背包需要最少的物品数
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        // 完全背包：顺序遍历
        // 组合问题：先物品、后容量，装满就行，不在意装入的顺序
        int m = coins.size();
        int n = amount;
        // 凑成面值n，最多需要n个硬币，初始化为n + 1即可
        vector<int> dp(n + 1, n + 1); // dp[j]：装满容量为j的背包至少需要dp[j]个物品
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = coins[i]; j <= n; j++){
                // 装满容量为j的背包，要么直接用前面的物品装满，要么找一个剩余容量为coins[i]的背包放入coins[i]
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);  
            }
        }
        return dp[n] == n + 1 ? -1 : dp[n];
    }
};

279.完全平方数

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    // 物品为：[1,4,9,...]
    // 容量为n，问装满背包至少需要几个物品
    int numSquares(int n) {
        // 完全背包：顺序遍历
        // 组合问题：先物品、后容量
        vector<int> dp(n + 1, n);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n / i; i++){
            for(int j = i * i; j <= n; j++){
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};