目录
1、算法效率
2、时间复杂度
1、定义
2、大O的渐进表示法
3、常见时间复杂度计算举例
3、空间复杂度
4、练习
例1、消失的数字
例2、旋转数组
1、算法效率
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费计算机的时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2、时间复杂度
1、定义
定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来，才能知道，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
例1：请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实际中计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里使用大O的渐进表示法。
2、大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶。
注意：大O渐进表示法：估算，大概次数所属量级。
例如：对上述的Func1：O(N^2)，所以大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
3、常见时间复杂度计算举例
例1、计算BinarySearch的时间复杂度
例2：计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
注：递归时间复杂度计算方法和技巧：每次递归调用的执行次数相加。
例3：计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
注：斐波那契递归Fib的空间复杂度为O(N)，时间是累加的，空间是可以重复利用的。
3、空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。所以空间复杂度算的是变量的个数（形参不算）。
例1：计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}答：例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为O(1)。
例2：计算Fibonacci的空间复杂度
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}答：例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为O(N)。
例3：计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}答：例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)。
注：递归的空间复杂度计算：每次递归调用的变量个数累加。
4、练习
例1、消失的数字
链接：https://leetcode.cn/problems/missing-number-lcci/
法一：求和相减。因为数是从0到n的，所以用0到n的求和公式，再减去数组中的值，结果就是缺失的整数。
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int x=(numsSize*(numsSize+1))/2;
for(int i=0;i<numsSize;i++)
{
x-=nums[i];
}
return x;
}法二：异或。设x为从0依次异或到n的值，再让x与数组的值依次异或，由于相同的值异或为0，0与任何数异或值不变，结果就是缺失的数。
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int x=0;
for(int i=0;i<=numsSize;i++)
{
x^=i;
}
for(int i=0;i<numsSize;i++)
{
x^=nums[i];
}
return x;
}
例2、旋转数组
链接：https://leetcode.cn/problems/rotate-array/
法一：先转1次，再外层循环转k次，时间复杂度为O(N^2)。
法二：以空间换时间。时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)。
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
if(k>=numsSize)
{
k%=numsSize;
}
int tmp[numsSize];
int j=0;
for(int i=numsSize-k;i<numsSize;i++)
{
tmp[j]=nums[i];
j++;
}
for(int i=0;i<numsSize-k;i++)
{
tmp[j]=nums[i];
j++;
}
for(int i=0;i<numsSize;i++)
{
nums[i]=tmp[i];
}
}法三：前n-k个逆置翻转，后k个逆置翻转，再整体逆置翻转。（观察规律）
void swap_num(int* x,int* y)
{
int tmp=0;
tmp=*x;
*x=*y;
*y=tmp;
}
void reverse_num(int a[],int left,int right)
{
while(left<right)
{
swap_num(&a[left],&a[right]);
left++;
right--;
}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
if(k>=numsSize)
{
k%=numsSize;
}
reverse_num(nums,0,numsSize-k-1);
reverse_num(nums,numsSize-k,numsSize-1);
reverse_num(nums,0,numsSize-1);
}
