1.什么是树

1.1浅显的理解树

1.2 数据结构中树的概念

2.树的各种结构概念

2.1 节点的度

2.2 根节点/叶节点/分支节点

2.3 父节点/子节点

2.4祖先节点/子孙节点

2.5兄弟节点

2.6树的度

2.7节点的层次

2.8森林

3. 如何用代码表示一棵树

3.1链式结构

3.1.1 树节点的定义方式1（指针数组）

3.1.2 树节点的定义方式2（左孩子右兄弟表示法）

3.2数组结构

3.2.1 每个节点存父亲下标

3.2.2 完全二叉树的数组表示法

1.什么是树

1.1浅显的理解树

树，其实就是我们现实中的树（注意看有好多分支），但是现在这棵树是一个数据结构！

在数据结构当中，我们设计结构的目的是为了存储数据，我们所说的树亦是一个能存数据的树。或者更准确的说，是一个一个的数据按照树型结构组织在了一起。那这是一种什么样的数据结构呢？

之前了解到的数据结构，如顺序表，链表等，他们都是线性的存储结构，即一个数据连接着下一个数据，在逻辑上上是呈现线性的。而树这种数据结构则不同，所有数据组织在一起的方式并不是一条单纯的直线了，而是一个树形。

1.2 数据结构中树的概念

树是一种非线性的数据结构，它由一个一个的有限数量的节点组织形成，本质上就是节点的集合。在实际coding当中，一棵树是一个倒挂的树，即root树根是在最上层，叶子在最底层。

所以实际上我们数据结构中的树是一棵倒挂的树，根在最上面。

树当中，有一个特殊的节点，就是根节点，除了空树，每一棵树都有根节点，根节点是唯一的，根节点之上没有其他的节点。

每一棵树，都可以这样划分：根 根的子树1，子树2，子树3 ........ 子树n（n是看根有多少棵直接子树）。

每一棵子树，也都是一棵树。也可以分为子树的根，子树根的 子树1，子树2......子树n。

按照这个思路，一棵树由根 + 所有的的每一颗子树，组成划分的；根的每一棵子树，也都是按根 + 所有的每一颗子树构建的；所有的子树的子树，也都是按根 + 所有的的每一颗子树方式组织的；所有的子树的子树的子树（此处省去一万字）。。。。。。

所以树本质上都是通过递归定义的。

2.树的各种结构概念

2.1 节点的度

节点的度，就是一个节点的子树的个数，或者说，就是一个节点有几个分叉。

如上面 1节点，它的度就是3（有3个子树/分叉 2 3 4）；2节点，它的度是2（有2个子树/分叉 5 6）；7节点，它的度是1（只有一个子树/分叉）。

2.2 根节点/叶节点/分支节点

根节点：就是最开始的一个节点（如图的 1节点），它是唯一的。从根开始找，这棵树的所有节点都可以遍历找到。所以只要找到了一棵树的根，这棵树就算是被我们所“掌控”。

叶子节点：度为0的节点，即往下没有子树/分支的节点。即我这个节点的下面就没有任何东西了（空），我这个节点就是叶子节点。（如图中的 5 9 10 8，是上图中树的叶子节点）。

分支节点：这是叶子节点的对立，即度不为0的节点，只要不是叶子节点，那你就是分支节点。

2.3 父节点/子节点

父节点：就是一个节点的父亲。就是一个节点上面的那一个节点，如在下图当中，5的父节点是2，10的父节点是7，3的父亲节点是1.。

这里需要着重强调：就像在现实当中任何一个人都只有一个爹，任何一个节点，也都只有一个父节点。（除根节点，根节点没有父亲）

要找到任何一个节点，也只能通过父亲节点找到。父节点，也只能由他的唯一的父亲节点找到，所以其实在树中，要找到任何一个节点都只有唯一的一条路径。

相对于父节点，那父的儿子就是子节点，即父亲往下可以直接找到的节点。就像现实当中，一个爹，都可以有多个儿子，也可以有一个儿子，也可能没有儿子，在树当中，任何一个节点，只要在我这个节点的下面能直接找到的节点，那这就是子节点。

如1的子节点，就是2 3 4节点；2的子节点，就是5 6节点；4的子节点，就只有 8节点。

2.4祖先节点/子孙节点

祖先节点：从根到该节点所经分支上的所有节点，都是祖先节点。类比现实，你爹是你的祖先，你爷爷是你的祖先，你太爷爷是你的祖先……你的太太太太太太太爷爷都是你的祖先。（当然这里我们也可以知道，根节点一定是所有节点的祖先节点）

如6节点的祖先节点是2 1节点；如9节点的祖先节点是6 2 1节点；如8节点的祖先是4 1节点。

子孙节点：祖先是从根节点找到该节点路径上的所有点，而子孙，其实就是我这个节点能被某个节点所找到！！！即只要，我这个节点只要能往下找到你，我就是祖先，你就是子孙。如2节点作为祖先节点，那5 6 9这三个节点就都是子孙节点。

2.5兄弟节点

兄弟节点：（必须是亲兄弟！！！）有同一个的父节点，我们才是兄弟节点！！！

如下图当中5和6才是兄弟节点，6和7就不是兄弟节点，7和8就不是兄弟节点。

2.6树的度

是一棵树中，所有节点的最大度，称之为树的度。就是所有的节点的度中，挑出其中最大的节点度。PS：最大的节点度，不一定是根节点的度，我们要求的是有最多分支的节点。

如这棵树，它的度就是3：即7这个节点的度，是所有节点当中度最大的（3，其余节点的度都是2或1或0），所以这棵树的度就是3。

2.7节点的层次

从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层。节点的层次也叫树的高度/深度。

当然也有些地方根是第0层，根的子节点为第1层，即上图分为0 1 2 3层，这样也说的过去。

不过我们还是推荐 1 2 3 4 （如上图画的那样），这样方便理解：

空树是没有根节点，如果我们算根节点为第1层，这样空树的高度我们就可以换定义为0了，更加符合我们的观感！

2.8森林

有N（N>0）棵树，即至少一棵 互不相交的树 的集合称为森林。

如并查集这个数据结构就是森林（就是有多棵树嘛）。

3. 如何用代码表示一棵树

刚才我们只是从抽象图上表征了树，那落实到代码当中，一棵树如何用代码来表示呢?我们可以用链式结构来表示一棵树，也可以用数组结构来表示一棵树。

3.1链式结构

要用链式结构来实现树，我们就要首先定义出来一个节点类，因为我们一定是把一个一个的节点链起来组成的一棵树（当然节点与节点之间的链接，我们是通过指针来实现的）。节点是组成树的基础。那如何定义节点类呢？

3.1.1 树节点的定义方式1（指针数组）

我们节点TreeNode要存一个数据data，这个毋庸置疑，然后就是要存储指针，即链接到子节点的链子。那这样就有一个问题，我每个节点的子节点的数量是不一定的，要使用的链子（指针）数量也是不一定的，所以我们要存储多个节点指针。

一种方法是让每个节点存储一个指针数组，这个指针数组可以是一个定长的。

struct TreeNode
{
    int data;
    struct TreeNode* *pSonNode[N];
};

但是这种情况是存在缺陷的，如果你知道了这个树的度（即一个节点，最大所能有的分叉数量），或者你规定这个树是固定有多少个叉的，那这个N是可以确定的，可是如果没有给这个度，那N存多大就很难确定了：如果N给大了，那就会造成很多的空间浪费。如果N给小了，有可能导致有的节点，所能链接到的节点数量受限。

所以我们通常是存一个可以动态增长的数组指针，按需给相应大小数量的指针。

struct TreeNode
{
    int data;
    vector<struct TreeNode*> pTreeSon;
};

上面的方法，在指定了这是几叉树 / 该树的度确定，这两种情况下，在节点中直接存储指向孩子的指针，这的确是一种很好的表示树的方法。但是现实中，树的情况是很复杂的，对于度不确定的这种树，我们不推崇上面这个方法，我们有一个也是很好的方法---左孩子右兄弟表示法。

3.1.2 树节点的定义方式2（左孩子右兄弟表示法）

struct TreeNode
{
    int data;
    struct TreeNode* Left_FirstChild;
    struct TreeNode* Right_NextBrother;
};

每一个节点，只存，链接到最左的孩子（即我的第一个孩子）的指针，以及链接到右边的兄弟（即我旁边的那个亲兄弟节点）的指针。

举个例子：如下图，2节点，我只存储两个指针：我的Left_FirstChild为指向最左边的即第一个孩子5，我的Right_NextBrother为指向我右边的即旁边的亲兄弟3。

再如下图的6节点：我的Left_FirstChild，指向的是第一个孩子9。而我Right_NextBrother，旁边右边的第一个亲兄弟，是空！这里注意哦，兄弟指代的是亲兄弟哦！你只能说6和7是堂兄弟的关系。反正我7节点的右边是没有亲兄弟的，所以Right_NextBrother存NULL。

那这样存为什么能够表示整棵树呢？画个图你就明白了：比如我们要用这个左孩子右兄弟法表示下面这棵树：

那么如果我们用左孩子右兄弟法，组织节点，组织成这棵树：

你可以看到，这种方法其实是把每一个节点都建立了被链接关系，即我总是能通过某条路径找到这个节点，我们可以根据左孩子右兄弟法这些安插的链子，找到所有节点。

（只要可以找到/遍历到任何节点，那这就是一种成功的表示树的方法）

例如要找H节点，我们可以通过A的左孩子找到B，然后通过B的右兄弟找到C，然后通过C的左孩子找到H节点；

再例如要找到G节点，我们可以通过A的左孩子找到B，然后通过B的左孩子找到E，然后通过E的右兄弟找到F，然后通过F的右兄弟找到G节点。.

这种方法，相比第一种方法，对于任意树的构建，是没有空间浪费的，而且可以全部遍历找到，非常优！！！

3.2数组结构

没错，我们用一个数组，也可以组织表示一棵树哦！（后面写并查集的时候，一个数组甚至能够表示一个森林，也就是多棵树）是不是很神奇！？下面我们具体看一下如何实现。

3.2.1 每个节点存父亲下标

我们每个节点，即每个节点的数据都存储在一个数组的一个格子当中，这样每一个数据就都有了一个存储下标index，然后这个数组每个格子，不止存数据，还存储着该数据节点的父亲的所在下标（根节点没有父亲，存-1）。这种方法也可以表示整棵树，也即可以遍历到/找到任意的一个节点。何出此言？

struct TreeNode
{
    int data;    //节点存储的数据
    int parent_i;//我这个节点的父亲的在数组的下标
};

如果我们要找到任意一个节点，可以选择遍历这个数组，从而找到这个节点；然后如何找到这个从根到这个节点的路径呢？其实我们可以通过这个数组每个格子里面存储的父亲的下标，一直往父亲跳，一直跳到根即可，记录每个跳到的节点，其实这就是从根到该节点的路

径。