前面我们已经介绍了，研究算法的最终目的是如何花费更少的时间，如何占用更少的内存去完成相同的需求，并且也通过案例演示了不同算法之间时间耗费和空间耗费上的差异，但我们并不能将时间占用和空间占用量化。因此，接下来我们要学习有关算法时间耗费和算法空间耗费的描述与分析。有关算法时间耗费分析，我们称之为算法的时间复杂度分析。
1.时间复杂度分析方法
我们要计算算法耗费时间情况，首先我们得度量算法的执行时间，那么如何度量呢？
1.1事后分析估算方法
比较容易想到的方法就是我们把算法执行若干次，然后拿个计时器在旁边计时，这种事后统计的方法看上去的确不错，并且也并非要我们真的拿个计算器在旁边计算，因为计算机都提供了计时的功能。这种统计方法主要是通过设计好的测试程序和测试数据，利用计算机计时器对不同的算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低，但是这种方法有很大的缺陷︰必须依据算法实现编制好的测试程序，通常要花费大量时间和精力，测试完了如果发现测试的是非常糟糕的算法，那么之前所做的事情就全部白费了，并且不同的测试环境(硬件环境)的差别导致测试的结果差异也很大。
如下例所示：
public static void main(String[] args) {
long start = System.currentTimeMillis();
int sum = 0;
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum +=i;
}
System.out.println("sum="+sum);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println(end-start);
}如何理解该方法的缺陷？
举例说明：比如我们用来三天的时间写了一个测试某个确定算法的程序，然后运行它，测试这个算法的时间，发现测试时间很长，那在实际中这个算法肯定就不能使用啊，那也就是说这个算法是不好的，是有缺陷不能用的，那么你写的这个测试程序也是不能用的，也就是说你白花了三天时间。这就是一个极大的缺陷。
1.2事前分析估算方法
在计算机程序编写之前，依据统计方法对算法进行估算，经过总结，我们发现一个高级语言编写的程序，程序在计算机上运行消耗的时间取决于下列因素：
- 算法采用的策略和方案；
- 编译产生的代码质量；（不可人为干预）
- 问题的输入规模（所谓的问题输入规模就是输入量是多少）；
- 机器执行指令的速度；（不可人为干预）
由此可见，抛开那些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。如果算法固定，那么该算法的执行时间就只和问题的输入规模有关系了。
2.案例说明
2.1案例一
题目：计算1到100的和
方法一：
//如果输入量n为1，则需要计算1次
//如果输入量n为1亿，则需要计算1亿次
public static void main(String[] args) {
int sum = 0; //执行1次
int n = 100; //执行1次
for (int i = 1; i <= n; i++) {//执行n+1次
sum +=i; //执行n次
}
System.out.println("sum="+sum);
}方法二：
//如果输入量n为1，则需要计算1次
//如果输入量n为1亿，则需要计算1亿次
public static void main(String[] args) {
int sum = 0; //执行1次
int n = 100; //执行1次
sum = (n+1)*n/2; //执行1次
System.out.println("sum="+sum);
}分析：
方法一，当输入规模为n时，方法一执行了1+1+（n+1）+n=2n+3次
方法二，当输入规模为n时，方法二执行了1+1+1=3次
定量具体分析来看，很明显，方法二的执行次数是要远少于方法一的。
下面，我们来深入分析一次这两段代码：
方法一，这个算法求和的核心代码是那个for循环，如果我们把这个for循环看成是一个整体，不考虑什么判断条件啊，什么次数啊，只考虑这个循环里面的内容，然后再忽略其他的一些简要的一次就执行的代码，那么方法一的执行次数就简化为n次
方法二，同样的道理，我们简化那么简单的一次就行的代码语句，重点关注算法的核心语句的执行次数，那么方法二的执行次数就简化为1次
再对比一下，两个方法运行时间的差距就是n与1的差距。
注意：这里我们用了简化思维，直接去抓取每个算法的核心部分，并分析这个核心部分执行的次数
问题：
为什么循环判断条件在方法一中执行了n+1次，看起来是个不小的数字，但是可以忽略呢？
答：看2.2案例二
2.2案例二
题目：计算100个1+100个2+100个3+,,,,,,+100个100的结果
public static void main(String[] args) {
int sum = 0;
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <=n ; j++) {
sum+=i;
}
}
System.out.println("sum="+sum);
}上面这个例子中，如果我们要精确的研究循环的条件执行了多少次，是一件很麻烦的事情，并且，由于真正计算和的代码是内循环的循环体，所以，在研究算法的效率时，我们只考虑核心代码的执行次数，这样可以简化分析。
下面给出2.1中问题的四个答案，可以酌情选择思考
答案1：精确循环次数很麻烦
第一个for循环的条件判断执行了100次，第二个for循环的条件判断执行了10000次，但是请思考下面的几种情况：如果有5层循环，每层次数不一样，让你求第4层循环的判断次数，是不是很麻烦？如果上题中，n=1234，求第二层循环的判断次数是不是也很麻烦？所以，我们忽略循环的判断次数。
答案2：只关心得到结果的最核心部分
上面的所有循环都是为了sum+=i 这句服务的，并且这个算法的最核心部分也是sum+=i，最后的结果也是由这一句得到的，所以，我们只关心这一句。
答案3：当做整体看
因为你每执行一次sum+=i 这句，那就比如执行了前面的for循环的条件判断啊，这二者是一个整体的，是密不可分的，所以就忽略了for的条件判断，只关心那一句
答案4：老师讲的！
我们研究算法复杂度，侧重的是当输入规模不断增大时，算法的增长量的一个抽象(规律)，而不是精确地定位需要执行多少次，因为如果是这样的话，我们又得考虑回编译期优化等问题，容易主次跌倒。
我们不关心编写程序所用的语言是什么，也不关心这些程序将跑在什么样的计算机上，我们只关心它所实现的算法。这样，不计那些循环索引的递增和循环终止的条件、变量声明、打印结果等操作，最终在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看做是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。我们分析一个算法的运行时间，最重要的就是把核心操作的次数和输入规模关联起来。
3.函数渐进增长
概念：
给定两个函数f(n)和g(n)如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近快于(gn)。概念似乎有点艰涩难懂，那接下来我们做几个测试。
3.1测试1
假设四个算法的输入规模都是n ：
- 算法A1要做2n+3次操作，可以这么理解︰先执行n次循环，执行完毕后，再有一个n次循环，最后有3次运算
- 算法A2要做2n次操作
- 算法B1要做3n+1次操作，可以这个理解∶先执行n次循环，再执行一个n次循环，再执行一个n次循环，最后有1次运算
- 算法B2要做3n次操作
那么，上述算法，哪一个更快一些呢?
通过数据表格，比较算法A1和算法B1 ∶
- 当输入规模n=1时，A1需要执行5次，B1需要执行4次，所以A1的效率比B1的效率低；
- 当输入规模n=2时，A1需要执行7次，B1需要执行7次，所以A1的效率和B1的效率一样；
- 当输入规模n>2时，A1需要的执行次数一直比B1需要执行的次数少，所以A1的效率比B1的效率高
所以我们可以得出结论︰
当输入规模n>2时，算法A1的渐近增长小于算法B1的渐近增长
通过观察折线图，我们发现，随着输入规模的增大，算法A1和算法A2逐渐重叠到一块，算法B1和
算法B2逐渐重叠到一块，所以我们得出结论︰
随着输入规模的增大，算法的常数操作可以忽略不计
3.2测试2
假设四个算法的输入规模都是n :
- 算法C1需要做4n+8次操作
- 算法C2需要做n次操作
- 算法D1需要做2n^2次操作
- 算法D2需要做n^2次操作
那么上述算法，哪个更快一些?
通过数据表格，对比算法C1和算法D1 :
- 当输入规模n<=3时，算法C1执行次数多于算法D1，因此算法C1效率低一些；
- 当输入规模n>3时，算法C1执行次数少于算法D1，因此，算法D2效率低一些，所以，总体上，算法C1要优于算法D1
通过折线图，对比对比算法C1和C2：
随着输入规模的增大，算法C1和算法C2几乎重叠
通过折线图，对比算法C系列和算法D系列：
随着输入规模的增大，即使去除n^2前面的常数因子，D系列的次数要远远高于C系列。
因此，可以得出结论：
随着输入规模的增大，与最高次项相乘的常数可以忽略
3.3测试3
假设四个算法的输入规模都是n：
- 算法E1：2n^2+3n+1；
- 算法E2：n^2
- 算法F1：2n^3+3n+1
- 算法F2：n^3
那么上述算法，哪个更快一些?
通过数据表格，对比算法E1和算法F1 :
- 当n=1时，算法E1和算法F1的执行次数一样；
- 当n>1时，算法E1的执行次数远远小于算法F1的执行次数；
所以算法E1总体上是由于算法F1的。
通过折线图我们会看到，算法F系列随着n的增长会变得特块，算法E系列随着n的增长相比较算法F
来说，变得比较慢，所以可以得出结论：
最高次项的指数大的，随着n的增长，结果也会变得增长特别快
3.4测试4
假设五个算法的输入规模都是n ：
- 算法G ：n^3；
- 算法H：n^2；
- 算法I：n；
- 算法J：logn；
- 算法K：1；
那么上述算法，哪个效率更高呢?
通过观察数据表格和折线图，很容易可以得出结论：
算法函数中n最高次幂越小，算法效率越高
3.5小结
总上所述，在我们比较算法随着输入规模的增长量时，可以有以下规则：
- 算法函数中的常数可以忽略
- 算法函数中最高次幂的常数因子可以忽略
- 算法函数中是高次幂越小，算法效率越高
4.大O计法
4.1具体定义
定义：
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随着n的变化情
况并确定T(n)的量级。算法的时间复杂度，就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随
着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简
称时间复杂度，其中f(n)是问题规模n的某个函数。
在这里，我们需要明确一个事情：执行次数=执行时间
用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着输入规模n
的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
4.2案例分析
下面用大O表示法来表示一些求和算法的时间复杂度
算法一：
public static void main(String[] args) {
int sum = 0;//执行1次
int n = 100;//执行1次
sum = (n+1)*n/2;//执行1次
System.out.println("sum="+sum);
}算法二：
public static void main(String[] args) {
int sum = 0;//执行1次
int n = 100;//执行1次
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum+=i;//执行n次
}
System.out.println("sum="+sum);
}算法三：
public static void main(String[] args) {
int sum = 0;//执行1次
int n = 100;//执行1次
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <=n ; j++) {
sum+=i;//执行n^2次
}
}
System.out.println("sum="+sum);
}如果忽略判断条件的执行次数和输出语句的执行次数，那么当输入规模为n时，以上算法执行的次
数分别为：
算法一：3次
算法二：n+3次
算法三：n^2+2次
如果用大o记法表示上述每个算法的时间复杂度，应该如何表示呢？基于我们对函数渐近增长的分
析，推导大O阶的表示法有以下几个规则可以使用：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数中，只保留高阶项
- 如果最高阶项存在，且常数因子不为1，则去除与这个项相乘的常数
所以，上述算法的大O计法分别为：
算法一：O(1)
算法二：O(n)
算法三：O(n^2)
5.小结
这篇文章，首先我们给出了算法的时间复杂度的分析方法，引导我们如何去分析一个算法的时间复杂度，然后讲了一系列的函数渐进增长，通过具体的实例总结了一些结论，最后我们在这些结论的基础上提出来大O计法，然后结合大O计法和那些结论，我们实际的分析了一些求和算法的时间复杂度。
