leetcode 518.零钱兑换II

leetcode 377.组合总和IV

完全背包基础

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

然举这个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

每件商品都有无限个！

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。

回顾以下01背包的核心代码：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++){
    for(int j = maxWeight; j >= weight[i]; j--){
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++){
    for(int j = weight[i]; j <= maxWeight; j++){
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

dp状态图如下：

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

leetcode 518.零钱兑换II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

• 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]

• 输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

• 5=5

• 5=2+2+1

• 5=2+1+1+1

• 5=1+1+1+1+1

示例 2:

• 输入: amount = 3, coins = [2]

• 输出: 0

• 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式和leetcode 494.目标和的类似。

3. dp数组如何初始化

dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

4. 确定遍历顺序

前面提到完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的，但本题不行。

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时dp[j]里算出来的就是排列数。

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

leetcode 377.组合总和IV

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

• nums = [1, 2, 3]

• target = 4

所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列。

其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式

递推公式是dp[i] += dp[i - nums[j]];

3. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢？

其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？

初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

4. 确定遍历顺序

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。（上一题）

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

5. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i <= target; i++){
            for(int j = 0; j < nums.size(); j++){
                if(i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。