把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。换元法分为两类。

1 第一类换元法

1.1 定理1

设$f(u)$具有原函数$F(u)$,即

$F^{{}^{\prime }}(u)=f(u),\int f(u)du=F(u)+C$

如果u是中间变量:$u=\varphi (x)，且设\varphi (x)$可微，那么根据复合函数微分法，有

$dF[\varphi (x)]=f[\varphi (x)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)dx$,

根据不定积分的定义就得

$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)dx=F[\varphi (x)]+C=[\int f(u)du{]}_{u=\varphi (x)}$

定理1 设$f(u)$具有原函数，$u=\varphi (x)$可导，则有换元公式

$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)dx=[\int f(u)du{]}_{u=\varphi (x)}$

1.2 例题

例1 求$\int \frac{1}{3+2x}dx$
$$\begin{gathered} 解： \\ \int \frac{1}{3+2x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{3+2x}d(3+2x)=\frac{1}{2}\ln |3+2x|+C \end{gathered}$$
例2 求$\int \frac{x^2}{(x+2{)}^3}dx$

注：分式积分，分母越简单越易积
$$\begin{gathered} 解： \\ 令u=x+2,x=u-2 \\ \int \frac{x^2}{(x+2{)}^3}dx=\int \frac{(u-2{)}^2}{u^3}du \\ =\int \frac{1}{u}du-\int \frac{4}{u^2}du+\int \frac{4}{u^3}du \\ =\ln |x+2|+\frac{4}{x+2}-\frac{1}{2(x+2{)}^2}+C \end{gathered}$$

例3 求$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx$

解析：基本积分公式$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$$\begin{gathered} 解: \\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}dx \\ =\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}d(\frac{x}{a})=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C \end{gathered}$$

例4 求$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx$

注：裂项公式，分母为两个一次项乘积形式$\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b})$
$$\begin{gathered} 解: \\ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{x-a}d(x-a)-\int \frac{1}{x+a}d(x+a)] \\ =\frac{1}{2a}(\ln |x-a|-\ln |x+a|)+C=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C \end{gathered}$$

例5 求$\int \frac{dx}{x(1+2\ln x)}$

解析：$(\ln x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x}$
$$\begin{gathered} 解: \\ \int \frac{dx}{x(1+2\ln x)}=\frac{1}{2}\int \frac{d(1+2\ln x)}{1+2\ln x} \\ =\frac{1}{2}\ln |1+2\ln x|+C \end{gathered}$$

例6 求$\int \frac{e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

解析：$(\sqrt{x}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$
$$\begin{gathered} 解: \\ \int \frac{e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=\frac{2}{3}\int e^{3\sqrt{x}}d(3\sqrt{x}) \\ =\frac{2}{3}{e}^{3\sqrt{x}}+C \end{gathered}$$

例7 求$\int si{n}^{2}x{\cos }^{5}xdx$

解析：$(\sin x{)}^{{}^{\prime }}=\cos x(\cos x{)}^{{}^{\prime }}=-\sin x{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
$$\begin{gathered} 解：\int si{n}^{2}x{\cos }^{5}xdx=\int si{n}^{2}x{\cos }^{4}xd(\sin x) \\ =\int si{n}^{2}x(1-{\sin }^{2}x{)}^{2}d(\sin x)=\int ({\sin }^{6}x-2{\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x)d(\sin x) \\ =\frac{1}{7}{\sin }^{7}x-\frac{2}{5}{\sin }^{5}x+\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C \end{gathered}$$

一般地，对于${\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}x或{\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}x(其中k\in N)$型函数的积分，总可依次做变换$u=\cos x或u=\sin x$,求得结果。

例8 求$\int \tan xdx$
$$\begin{gathered} 解：\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d(\cos x) \\ =-\ln |\cos x|+C \end{gathered}$$

类似可得$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

例9 求$\int \frac{x^3}{(x^2-2x+2)}$

1.2 常见凑微分形式

1.2.1常见基本的导数公式的逆运算

1. $\int f(\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^2}dx=-\int f(\frac{1}{x})d\frac{1}{x}$
2. $\int f(\sqrt{x})\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\int f(\sqrt{x})d\sqrt{x}$
3. $\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d\sin x$
4. $\int f(\cos x)\sin xdx=-\int f(\cos x)d\cos x$
5. $\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)d\ln x$
6. $\int f(x\ln x)(1+\ln x)dx=\int f(x\ln x)d(x\ln x)$
7. $\int f(\sec x)\sec x\tan xdx=\int f(\sec x)d\sec x$
8. $\int f(\csc x)\csc x\cot xdx=-\int f(\csc x)d\csc x$
9. $\int f(\tan x){\sec }^{2}xdx=\int f(\tan x)d\tan x$
10. $\int f(\cot x){\csc }^{2}xdx=-\int f(\cot x)d\cot x$
11. $\int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(\arcsin x)d\arcsin x$
12. $\int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(\arcsin x)d\arctan x$
13. $\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d{e}^x$

1.2.2被积函数含有三角函数

常用的三角恒等式：

1. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
2. $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$
3. $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$
4. 两角和差的三角公式
   1. $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta$
   2. $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
5. 2倍角公式，降幂公式
   1. $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$
   2. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
   3. ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$
   4. ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$
6. 积化和差，和差化积

一般地，对于${\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}x或{\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}x(其中k\in N)$型函数的积分，总可依次做变换$u=\cos x或u=\sin x$,求得结果。

${\tan }^{n}x{\sec }^{2k}x或者{\tan }^{2k-1}x{\sec }^{n}x(n,k\in N_{+})$型积分，可依次做变换$u=\tan x或u=\sec x$

2 第二类换元法

2.1 定理2

设$x=\varphi (t)$是单调可导的函数，并且${\varphi }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0.又设f[\varphi (t)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)$具有原函数，则有换元公式

$\int f(x)dx=[\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)dt{]}_{t={\varphi }^{-1}(x)}$

其中${\varphi }^{-1}(x)是x=\varphi (t)$的反函数。

$$\begin{gathered} 证明： \\ 设f[\varphi (t)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)的原函数为\Phi (t),记\Phi (t)=\Phi [{\varphi }^{-1}(x)]=F(x) \\ 利用复合函数和反函数的求导法则，有 \\ {F}^{{}^{\prime }}(x)=\frac{d\Phi }{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=f[\varphi (t)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)\cdot \frac{1}{{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)}=f(x) \\ 即F(x)是f(x)的原函数，所以有 \\ \int f(x)dx=F(x)+c=\Phi [{\varphi }^{-1}(x)]+C=[\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)dt{]}_{t={\varphi }^{-1}(x)} \end{gathered}$$

注：

1. 必须写出变量代换$x=\varphi (t)$
2. 必须替换微分$dx={\varphi }^{{}^{\prime }}(t)dt$
3. 最后结果必须还原成原来积分变量$t={\varphi }^{-1}(x)$

2.2 常见第二换元代换方法

• 三角代换
• 倒代换
• 根式代换

2.2.1 三角代换-弦代换

正弦或者余弦代换

例1 求$\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)$
$$\begin{gathered} 解：令x=a\sin t,-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2} \\ \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t,dx=a\cos tdt \\ \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int a\cos t\cdot a\cos tdt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin 2t+C \\ =\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t\cos t+C \\ 其中t=\arcsin \frac{x}{a},\sin t=\frac{x}{a},\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \\ \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C \end{gathered}$$

2.2.2 三角代换-切代换

正切或者余切

例2 求$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0)$
$$\begin{gathered} 解：令x=a\tan t,-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2} \\ \sqrt{x^2+a^2}=a\sec t,dx=ase{c}^{2}t \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{1}{a\sec t}\cdot a{\sec }^{2}tdt \\ =\int \sec tdt=\ln |\sec t+\tan t|+C \\ 其中\tan t=\frac{x}{a},\sec t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln |\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C_1 \\ =ln(\sqrt{x^2+a^2}+x)+C \end{gathered}$$

2.2.3 三角代换-割代换

正割或者余割

例3 求$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx(a>0)$
$$\begin{gathered} 解：定义域x>a或者x<-a \\ (1)当x>a时，令x=a\sec t,0<t<\frac{\pi }{2} \\ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan t,dx=a\sec t\tan tdt \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\int \frac{1}{a\tan t}a\sec t\tan tdt \\ =\int \sec tdt=\ln |\sec t+\tan t|+C_1 \\ 其中\sec t=\frac{x}{a},\tan t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})+C \\ (2)当x<-a时,令u=-x,则u>a \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=-\int \frac{1}{\sqrt{u^2-a^2}}du \\ =-\ln (u+\sqrt{u^2-a^2})+C=-\ln (-x+\sqrt{x^2-a^2})+C=\ln (-x-\sqrt{x^2-a^2})+C_1 \\ 综上当x>a时，\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^{-}{a}^2})+C \\ x<-a时，\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln (-x-\sqrt{x^2-a^2})+C \\ 所以\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{gathered}$$

2.2.4 三角代换汇总

被积函数中函数含有	三角代换
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t,-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t,-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x>a,x=a\sec t,0<t<\frac{\pi }{2}$

2.2.5 倒代换

适用：分母次数>分子次数

例4 求$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx(a\ne 0)$
$$\begin{gathered} 解：(1)利用上面的三角代换，自己做 \\ (1)倒代换,令x=\frac{1}{t} \\ dx=-\frac{1}{t^2},\sqrt{a^2-x^2}=\frac{\sqrt{a^2{t}^2-1}}{|t|} \\ \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx=\int \frac{\sqrt{a^2{t}^2-1}}{|t|}\cdot t^4\cdot (-\frac{1}{t^2})dt \\ =-\int \sqrt{a^2{t}^2-1}\cdot |t|dt \\ 当x>0时，t=\frac{1}{x}>0 \\ \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx=-\frac{1}{2a^2}\int (a^2{t}^2-1{)}^{\frac{1}{2}}d(a^2{t}^2-1)dt=-\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{3a^2{x}^3}+C \\ 当x<0时，t=\frac{1}{x}<0 \\ \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx=-\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{3a^2{x}^3}+C \\ 综上\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx=-\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{3a^2{x}^3}+C \end{gathered}$$

2.2.6 根式代换

例5 求$\int \frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx$
$$\begin{gathered} 解：令\sqrt{2x}=t,x=\frac{t^2}{2},dx=t \\ \int \frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx=\int \frac{t}{1+t}dt=t-\ln |t+1|+C \\ =\sqrt{2x}-\ln |sqrt2x+1|+C \end{gathered}$$

3 积分推导公式

常用积分公式，除了基本积分表中，在添加下面几个前面推导的公式：

1. $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
2. $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
3. $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
4. $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
5. $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
6. $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$
7. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$
8. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
9. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

例6 求 $\int \frac{x^3}{(x^2-2x+2{)}^2}dx$
$$\begin{gathered} 解： \\ {x}^2-2x+2=(x-1{)}^2+1,令x-1=\tan t,(-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}) \\ \int \frac{x^3}{(x^2-2x+2{)}^2}dx=\int \frac{(\tan t+1{)}^3}{{\sec }^{4}t}{\sec }^{2}tdt \\ =\int ({\sin }^{3}t{\cos }^{-1}t+3{\sin }^{2}t+3\sin t\cos t+{\cos }^{2}t)dt \\ =-\ln \cos t-{\cos }^{2}t+2t-\sin t\cos t+C \\ 按\tan t=x-1做辅助三角形， \\ \cos t=\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}},\sin t=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \\ \int \frac{x^3}{(x^2-2x+2{)}^2}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2-2x+2)+2\arctan (x-1)-\frac{x}{x^2-2x+2}+C \end{gathered}$$
辅助三角形图示：

后记

❓QQ:806797785

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P193~p207.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p28.

3. 三角函数公式