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1. 格雷码的应用意义

学过晶体管知识的朋友们都知道，数据位跳变就相当于硬件电路中的晶体管翻转。许多位同时跳变就相当于多个晶体管同时翻转，会导致电路中出现很大的尖峰电流脉冲，从而导致数据不稳定。

在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code），另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用$8421$码，则数$0111$变到$1000$时四位均要变化，而在实际电路中，$4$位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（$1100$、$1111$等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。格雷码有多种编码形式。

其重要特征是一个数变为相邻的另一个数时，只有一个数据位发生跳变，由于这种特点，就可以避免电路中出现亚稳态而导致数据错误。简而言之，格雷码的一位改变特征减小了电路出错概率，实际很多场合也用到了格雷码。

四位格雷码如下图所示：

更多内容，可见百度百科「格雷码」。

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2. 由自然数编码获得格雷码

leetCode当中关于格雷码的生成有：89. 格雷编码、1238. 循环码排列

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2.1 对称法实现

当是$0$位格雷码时，格雷码序列即为$[0]$。

如果我们获取了$n-1$位格雷码序列，并记为$G_{n-1}$，可以使用它构造获得$n$位格雷码序列$G_n$。具体方法如下：

• 将$G_{n-1}$复制一份并进行反转，记为$G_{n-1}^T$；
• 将$G_{n-1}^T$中每个元素的第$n-1$个二进制位均从$0$变为$1$，得到$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$。这里最低的二进制位为第$0$个二进制位；
• 将$G_{n-1}$和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$进行拼接，得到$G_n$。

证明如下：

• 由于$G_{n-1}$是$[0,2^{(-1})$的排列，那么其中每个元素的第$n-1$个二进制位都是$0$。进而，$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$是$[2^{n-1},2^n)$的排列，所以$G_n=G_{n-1}+(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$就是$[0,2^n)$的排列；
• 对于$G_{n-1}$和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$的内部，每对相邻整数的二进制恰好有一位不同。对于$G_{n-1}$最后一个数和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$第一个数，它们只有第$n-1$个二进制位不同。对于$G_{n-1}$第一个数和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$最后一个数，它们也仅有第$n-1$个二进制位不同。

因此，$G_n$就是满足要求的$n$位格雷码序列。对应的cpp代码为：

class Solution {
public:
    vector<int> grayCode(int n) {
        vector<int> ans;
        ans.push_back(0);
        for (int i = 1; i <=n; ++i) {
            int t = ans.size();
            for (int j = t-1; j >= 0; --j) {
                //ans.push_back(ans[j] + (1 << (i-1)));
                //这里+，|运算等效，因为0|A=A，且这里是按位或
                ans.push_back(ans[j] | (1 << (i-1)));
            }
        }
        return ans;
    }
};

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2.2 公式法实现

也可以由公式直接求出，第$i(i\ge 0)$个格雷码为：$g_i=i\oplus \lfloor \frac{i}{2}\rfloor$

其中$\oplus$表示按位异或运算，正确性证明如下：

• 当$i$为偶数时，$i$和$i+1$只有最低的一个二进制位不同，而$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$和$\lfloor \frac{i+1}{2}\rfloor$相等，进而异或之后$g_i$和$g_{i+1}$也只有最低的一个二进制位不同；
• 当$i$为奇数时，我们记$i$的二进制表示为 $(\cdots 01\cdots 11{)}_2$，$i+1$ 的二进制表示为 $(\cdots 10\cdots 00{)}_2$，即：
  • $i$和$i+1$的二进制表示的若干个最高位是相同的；
  • $i$和$i+1$的二进制表示的从高到低的第一个不同的二进制位，$i$中的二进制为$0$，$i+1$中的二进制位则为$1$，在此之后，$i$中的二进制均为$0$，$i+1$中的二进制位均为$1$；
  • 那么$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$和$\lfloor \frac{i+1}{2}\rfloor$的二进制表示分别为$(\cdots 01\cdots 1{)}_2$和$(\cdots 10\cdots 0{)}_2$，进而有：$g_i=(\cdots 01\cdots 11{)}_2\oplus (\cdots 10\cdots 0{)}_2=(\cdots 010\cdots 0{)}_2$，以及：$g_{i+1}=(\cdots 10\cdots 00{)}_2\oplus (\cdots 10\cdots 0{)}_2=(\cdots 110\cdots 0{)}_2$，也只有一个二进制位不同。
  • 注意到，当我们在表示$i+1$时，使用的的是$(\cdots 10\cdots 00{)}_2$ ，默认了其二进制表示的低位至少有两个$0$。事实上，当 $i+1$ 是$2$的倍数而不是$4$的倍数时，结论相同。

class Solution {
public:
    vector<int> grayCode(int n) {
        vector<int> ret(1 << n);
        for (int i = 0; i < ret.size(); ++i) 
            ret[i] = (i >> 1) ^ i;
        return ret;
    }
};

也即二进制到格雷码转换的固定规律为：

• 格雷码中的最高有效位（最左边）等同于二进制数中相应的最高有效位;
• 从左到右，加上每一对相邻的二进制编码位，从而得到下一个格雷码位，舍去进位。

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3. 由格雷码解码获得自然数

格雷码到二进制转换的固定规律为：

• 二进制码的最高有效位（最左边）等同于格雷码中相应的最高有效位。
• 将所产生的每个二进制码位加下一个相邻位置的格雷码位，从而得到下一个二进制位。舍去进位。

/*解码模板 */
#include<math.h>		// log对数函数需要用到的头文件
#include <iostream>
using namespace std;
 
int gray_decode(int num) {
	int head;
	if (!num) return 0;
	head = 1 << int(log(num) / log(2));	//C++没有直接以2为底的对数，我们创造一个以2为底的对数
   return head + gray_decode((num^head) ^ (head>>1));
}