计算几何原理与例题

news2025/1/19 11:10:26

目录

一、前言

二、简单几何

1、平面切分（2020年省赛，lanqiaoOJ题号503）

2、三角形的面积（lanqiaoOJ题号1231）

3、点和直线关系（lanqiao0J题号1240）

4、点和线段关系（lanqiaoOJ题号1242）

5、点到直线距离（lanqiaoOJ题号1286）

三、凸包

1、求土包子（lanqiaoOJ题号1316）

一、前言

本文主要讲了简单几何概念（平面切分、三角形面积、点与直线、点与线段、凸包）和相关例题。

二、简单几何

1、平面切分（2020年省赛，lanqiaoOJ题号503）

【题目描述】

平面上有 N 条直线，其中第 i 条直线是 y=(Ai)x+Bi。请计算这些直线将平面分成了几个部分。

【输入描述】

第一行包含一个整数 N。以下 N 行，每行包含两个整数 Ai, Bi。

【输出描述】

一个整数代表答案。

对于50%的评测用例，1<=N<=4，-10≤A, B≤10。

对于所有评测用例，1<=N<=1000，-100000<=A, B<=100000。

【思路】

  • 先看第一条和第二条线。第一条线把平面分成 2 半，第二条线如果与第一条平行，把平面分成 3 部分；如果不平行，有 1 个交点，把平面分成 4 部分。
  • 总结：每增加一条直线，平面分割的增加数量，等于 “其与先前直线的交点数（不包括与已有交点重合的点）+ 1” 。
  • 首先对输入的直线去重，然后按上述规则统计平面被直线分成了几个部分。每加入一条直线，暴力计算它与其他直线的交点即可。
n=int(input())
line=[tuple(map(int,input().split())) for i in range(n)]
se=set(line)
line=list(se)       #去重后的线
ans=2
for i in range(1,len(line)):    #从第二条直线开始
    a1,b1=line[i]
    pos=set()       #存交点
    for j in range(i):          #第1条直线与第1~i-1条直线的关系
        a2,b2=line[j]
        if a1==a2:            #平行，无交点
            continue
        x=(b2-b1)/(a1-a2)
        y=a1*x+b1
        poss.add((x,y))
    ans+=len(pos)+1
print(ans)

2、三角形的面积（lanqiaoOJ题号1231）

【题目描述】

平面直角坐标系中有一个三角形，请你求出它的面积。

【输入描述】

第一行输入一个T，代表测试次数。每组测试输入有三行，每行一个坐标 (x， y) 代表三个点。1<=T<=10^3，-10^5<=x,y<=10^5。

【输出描述】

输出一个实数表示三角形面积。

用海伦公式编码，Python 代码会有较大误差。

from math import *
def Dist(x1,y1,x2,y2):
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2))
t=int(input())
for i in range(t):
    x1,y1=map(float,input().split())
    x2,y2=map(float,input().split())
    x3,y3=map(float,input().split())
    a=Dist(x1,y1,x2,y2)
    b=Dist(x1,y1,x3,y3)
    c=Dist(x2,y2,x3,y3)
    p=(a+b+c)/2
    s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
    print("{:.2f}".format(s))

本题的正解是用叉积求面积。

【点和向量】

二维平面中的点用坐标 (x, y) 来表示。计算几何的基础是向量。有大小有方向的量，称为向量。只有大小而没有方向的量，称为标量。

用平面上的两个点可以确定一个向量，例如用起点 P1 和终点 P2 表示一个向量。·为了简化描述，可以把它平移到原点，把向量看成从原点 (0, 0) 指向点 (x,y) 的一个有向线段。向量的表示，在形式上与点的表示完全一样。

【向量的计算】

1）加：点与点的加法运算没有意义；点与向量相加得到另一个点；向量与向量相加得到另外一个向量。

2）减：两个点的差是一个向量；向量A减B，得到由B指向A的向量。

3）乘：向量与实数相乘得到等比例放大的向量。

4）除：向量与实数相除得到等比例缩小的向量。

【点积】

点积 (Dot product)：记向量 A 和 B 的点积为 A+B

定义：A+B=|A||B|cosθ，其中 θ 为A、B之间的夹角。

点积的几何意义为 A 在 B 上的投影长度乘以 B 的模长。

编程时计算点积，并不需要知道 θ。如果已知 A=(A.x, A.y)，B=(B.x, B.y)，有：

A·B = A.x*B.x + A.y*B.y

【点积的应用】

1）判断 A 与 B 的夹角是钝角还是锐角

点积有正负，利用正负号，可以判断向量的夹角：

若 dot(A, B)>0，A 与 B 的夹角为锐角；

若 dot(A, B)<0，A 与 B 的夹角为钝角；

若 dot(A, B)=0，A 与 B 的夹角为直角。

【叉积】

叉积：AXB=|A||B|sinθ

θ 表示向量 A 旋转到向量 B 所经过的夹角。

两个向量的叉积是一个带正负号的数值。AXB 的几何意义为向量 A 和 B 形成的平行四边形的“有向”面积，这个面积有正负。

向量 A、B 的叉积 AXB：A.x*B.y-A.y*B.x

【叉积的应用】

1）判断向量 A、B 的方向关系

若 AXB>0，B 在 A 的逆时针方向；

若 AXB<0，B 在 A 的顺时针方向；

若 AXB=0，B 与 A 共线，可能是同方向的，也可能是反方向的。

2）计算两向量构成的平行四边形有向面积

三个点 A、B、C，以 A 为公共点，得到 2 个向量 B-A 和 C-A，它们构成的平行四边形，面积是：Cross(B-A, C-A)；

如果以 B 或 C 为公共点构成平行四边形，面积是相等的，但是正负不一样。

3）计算三点构成的三角形的面积。三个点 A、B、C 构成的三角形面积，等于平行四边形面积的二分之一。

好了，扯了这么多，我们再回顾一下题目。

接下来用叉积求面积。

def Cross(x1,y1,x2,y2):     #叉积
    return x1*y2-y1*x2
t=int(input())
for i in range(t):
    x1,y1=map(float,input().split())
    x2,y2=map(float,input().split())
    x3,y3=map(float,input().split())
    a1=x1-x2
    a2=y1-y2
    b1=x1-x3
    b2=y1-y3
    s=Cross(a1,a2,b1,b2)/2    #用叉积算面积
    if s<0:
        s=-s                #取绝对值
    print("{:.2f}".format(s))   #或者：print("%.2f"%s)

3、点和直线关系（lanqiao0J题号1240）

【题目描述】

平面直角坐标系中有一个点 C 和一条直线 AB，求点 C 和直线 AB 的位置关系。

【输入描述】

第 1 行是整数 T，表示测试数量。每组测试输入三行，每行一个坐标 (x, y) 分别代表 A、B、C 三点。

【输出描述】

如果点 C 在直线 AB 上，输出 IN，如果点 C 在直线 AB 左侧，输出 L，如果点 C 在直线 AB 右侧输出 R。

【点和直线关系】

二维平面上，点和直线有三种位置关系：点在直线左侧、在右侧、在直线上。

用直线上的两点 p1 和 p2，与点 p 构成两个向量，用叉积的正负判断方向，就能得到位置关系。

也可以用 p、p1、p2 三点形成的三角形的面积来确定 p 和直线 p1p2 的关系。

设直线上两个点是 A、B，判断的点为 C。

S(A, B, C) 是三个点围成的三角形面积。

如果 S(A，B，C) 为正数，则 C 在直线 AB 的左侧；

如果 S(A，B，C) 为负数，则 C 在直线 AB 的右侧；

如果 S(A，B，C) 为 0，则 C 在直线 AB 上。

def Cross(x1,y1,x2,y2):         #叉积
    return x1*y2-y1*x2
t=int(input())
for _ in range(t):
    ax,ay=map(float,input().split())
    bx,by=map(float,input().split())
    cx,cy=map(float,input().split())
    x1=ax-bx
    y1=ay-by
    x2=ax-cx
    y2=ay-cy
    s=Cross(x1,y1,x2,y2)/2      #用叉积算面积
    if s>0:
        print("L")
    if s<0:
        print("R")
    if s==0:
        print("IN")

4、点和线段关系（lanqiaoOJ题号1242）

【题目描述】

平面直角坐标系中有一个点 C 和一条线段 AB，求点 C 和线段 AB 的位置关系。

【输入描述】

第 1 行是整数 T，表示测试数量。每组测试输入三行，每行一个坐标 (x, y) 分别代表 A、B、C 三点。

【输出描述】

如果点 C 在线段AB上，输出 Yes，否则输出 No。

【点和线段的关系】

判断点 p 是否在线段 v 上：

先用叉积判断是否共线；

然后用点积看 p 和 v 的两个端点产生的角是否是钝角 (实际上应该是180度角)。

def Cross(x1,y1,x2,y2):         #叉积
    return x1*y2-y1*x2
def Dot(x1,y1,x2,y2):
    return x1*x2+y1*y2          #点积
t=int(input())
for _ in range(t):
    ax,ay=map(float,input().split())
    bx,by=map(float,input().split())
    cx,cy=map(float,input().split())
    x1=ax-bx
    y1=ay-by
    x2=ax-cx
    y2=ay-cy
    if Cross(x1,y1,x2,y2)==0 and Dot(x1,y1,x2,y2)>=0:
        print('Yes')
    else:
        print('No')

5、点到直线距离（lanqiaoOJ题号1286）

【题目描述】

平面直角坐标系中有一个点 C 和一条线段 AB，求点 C 到直线 AB 的距离。

【输入描述】

第 1 行是整数 T，表示测试数量。每组测试输入三行，每行一个坐标 (x, y) 分别代表 A、B、C 三点。

【输出描述】

输出一个实数表示距离。结果保留 2 位小数。

已知点 p 和直线 v(p1,p2)，求 p 到 v 的距离。

首先用叉积求 p、p1、p2 构成的平行四边形面积，然后用面积除以平行四边形的底边长，也就是线段 (p1, p2) 的长度，就得到了平行四边形的高，即 p 点到直线的距离。

from math import *
def Cross(x1,y1,x2,y2):
    return x1*y2-y1*x2      #叉积
t=int(input())
for i in range(t):
    ax,ay=map(float,input().split())
    bx,by=map(float,input().split())
    cx,cy=map(float,input().split())
    d=abs(Cross(ax-cx,ay-cy,bx-cx,by-cy))   #用叉积算面积
    w=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by))
    print("%.2f"%(d/w))

三、凸包

凸包问题：给定一些点，求能把所有这些点包含在内的面积最小的多边形。

Andrew 算法：两次扫描，先从最左边的点沿 “下凸包” 扫描到最右边，再从最右边的点沿 “上凸包” 扫描到最左边，“上凸包” 和 “下凸包” 合起来就是完整的凸包。

 1）把所有点按照横坐标 x 从小到大进行排序，如果 x 相同，按 y 从小到大排序。得到序列 {p0, p1, p2, ..., pm}。

2）从左到右扫描所有点，求 “下凸包”。p0 一定在凸包上，它是凸包的最左边的顶点，从 p0 开始，依次检查 {p1, p2, ..., pm}，扩展出 “下凸包”。

3）从右到左重新扫描所有点，求 “上凸包”。

1、求土包子（lanqiaoOJ题号1316）

【题目描述】

平面直角坐标系中求一个凸包的周长 C。

【输入描述】

第 1 行是整数 n，接下来输入 n 行，每行一个坐标 (x, y)。n<5×10^4。

【输出描述】

输出一个实数 C，结果保留 6 位小数。

from decimal import *
from math import *

class Point:
    def __init__(self,x=0,y=0):
        self.x=x
        self.y=y
    def __sub__(self,other):
        return Point(self.x-other.x,self.y-other.y)

def cross(a,b):
    return a.x*b.y-b.x*a.y
def square(x):
    return x*x
def dis2(a,b):
    return square(a.x-b.x)+square(a.y-b.y)
def dis(a,b):
    return sqrt(dis2(a,b))

def convex_hull(p):   
    def cmp(a):      #把所有点按照横坐标x从小到大进行排序，如果x相同，按y从小到大排序
        return a.x*Decimal(1e9)+a.y
    p=sorted(p,key=cmp)
    n=len(p)
    stk=[]           #用stk记录凸包上的点
    stk.append(p[0])
    for i in p[1:]:  #从左到右扫描所有点，求“下凸包”
        while len(stk)>1 and cross(stk[-1]-stk[-2],i-stk[-2])<=0:
            del stk[-1]
        stk.append(i)
    tmp=len(stk)
    for i in p[::-1]:  #从右到左重新扫描所有点，求“上凸包”
        while len(stk)>tmp and cross(stk[-1]-stk[-2],i-stk[-2])<=0:
            del stk[-1]
        stk.append(i)
    stk.pop()
    return stk
        
n=int(input())
p=[Point() for i in range(n)]
for i in p:
    i.x,i.y=map(Decimal,input().split())
convex=convex_hull(p)
C=0
for i in range(len(convex)):
    C+=dis(convex[i-1],convex[i])
print("%.6f"%C)

以上，计算几何

祝好

 

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