3383. 线性筛素数

题目描述

给定一个范围 n，有 q 个询问，每次输出第 k 小的素数。

输入格式：

第一行包含两个正整数 n、q，分别表示查询的范围和查询的个数。
接下来 q 行每行一个正整数 k，表示查询第 k 小的素数。

输出格式：

输出 q 行，每行一个正整数表示答案。

数据范围

• $对于100\%的数据，n=10^8，1\le q\le 10^6，保证查询的素数不大于n$

输入样例

100 5
1
2
3
4
5

输出样例

2
3
5
7
11

方法一：埃氏筛法

解题思路

假设要求 0 - 20 之间的素数。
从 2 开始遍历每个数，因为 0 和 1 都不是素数。2 是最小的素数。
isPrime 布尔数组标记当前下标是否为素数，true 是素数，false 不是素数。
prime 数组用于存放素数。
方法：
如果 isPrime[i] 为 true，说明 i 为素数，因为它不能被更小的数整除（除了 1），然后把 i 的所有倍数都给划去；
为什么 j = i 呢，而不是等于 2 呢？
因为 i * 2 到 i * (i - 1) 在之前已经被划去，为了避免重复操作，所以 j 从 i 开始。
如果 isPrime[i] 为 false，说明 i 不是素数，它已经被划去了。

刷题平台的时间限制一般为 1s 或 2s，这就要求操作次数控制在 $10^7$ 以内。
因为埃氏筛法的时间复杂度为 $O(n\times log(logn))$，本题 $n=10^8$，所需操作的次数会远远大于 $10^7$，从而导致超时，故只好用欧拉筛法。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e8 + 10;

bool isPrime[N];
int n, q;
int prime[N];
int cnt = 0;

void GetPrime() {
	// 将布尔数组初始化，全部置为 true，1 即为 true
    memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = false, isPrime[1] = false;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		// 没有被划去过，说明 i 为素数
		if(isPrime[i]) {
			// 如果 i 是素数，将 i 的倍数都给划去
			for(int j = i; i * j <= n; j++) 
				isPrime[i * j] = false;
			// 把素数保存起来 
			prime[++cnt] = i;	
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	GetPrime();
	while(q--) {
		int k;
		scanf("%d", &k);
		printf("%d\n", prime[k]);
	}
	return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n\times log(logn))$
• 空间复杂度：$O(n)$

方法二：欧拉筛法

解题思路

因为埃氏筛法在把合数筛掉的过程中，会把一个合数重复筛掉多次，会浪费时间。
而欧拉筛法只会将一个合数筛掉一次，具有线性的时间复杂度，故而又叫线性筛法。

欧拉筛法的时间复杂度为 $O(n)$，本题 $n=10^8$，虽然在理论上超过了 $10^7$，但 $10^8$ 以内的合数并没有这么多，因此在实际上不会有那么多的操作次数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e8 + 10;

int prime[N], n, q;
bool isPrime[N];

void GetPrime() {
	int cnt = 0;
	memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
	isPrime[0] = 0, isPrime[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		// 如果 i 依然为 true, 说明当前 i 没有被之前的 i 用 prime[j] 给筛掉，则 i 为素数
		if(isPrime[i])	prime[++cnt] = i;
		// j 循环遍历已有的素数，而且还要确保 i * prime[j] <= n
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
			// i 用 prime[j] 把 i * prime[j] 给筛掉
			// 此时的 prime[j] 是 i * prime[j] 的最小质因数，在下面的例子中可以看出来
			isPrime[i * prime[j]] = 0;
			// 保证线性复杂度的重要条件
			if(i % prime[j] == 0)	break;
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	GetPrime();
	while(q--) {
		int k;
		scanf("%d", &k);
		printf("%d\n", prime[k]);
	}
	return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

两种方法对比

求 20 以内的素数，筛掉 20 以内的合数

埃氏筛法

i 的值	质数表	筛去的数
2	2、3、4、5、6、7、8、9、10	4、6、8、10、12、14、16、18、20
3	3、4、5、6	9、12、15、18
4	/	/
5	/	/
6	/	/
7	/	/
8	/	/
9	/	/
10	/	/
11	/	/
12	/	/
13	/	/
14	/	/
15	/	/
16	/	/
17	/	/
18	/	/
19	/	/
20	/	/

欧拉筛法

i 的值	质数表	筛去的数
2	2	4
3	2、3	6、9
4	2	8
5	2、3	10、15
6	2	12
7	2	14
8	2	16
9	2	18
10	2	20
11	/	/
12	/	/
13	/	/
14	/	/
15	/	/
16	/	/
17	/	/
18	/	/
19	/	/
20	/	/