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深度学习神经网络基础知识(一)

本文讲述神经网络基础知识，具体细节讲述前向传播，反向传播和计算图，同时讲解神经网络优化方法：权重衰减，Dropout等方法，最后进行Kaggle实战，具体用一个预测房价的例子使用上述方法。

文章部分文字和代码来自《动手学深度学习》

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模型选择、欠拟合和过拟合

1. 训练误差和泛化误差

训练误差（training error）指的是模型在训练数据集上表现出的误差。训练误差通常会随着训练次数的增加而逐渐降低，直到收敛到一个稳定的状态。

泛化误差（generalization error）指的是模型在测试数据集或真实环境中表现出的误差，也就是说，它是指模型对新数据的预测能力。泛化误差的大小取决于许多因素，包括模型的复杂度、训练数据集的大小和质量、模型选择和超参数调整等。泛化误差越小，说明模型的泛化能力越好，即对新数据的预测能力越强。

举个例子说明：
假设我们有一个分类问题，要用一个神经网络将一张图片分为猫和狗两类。我们有一组带标签的训练集来训练这个网络，训练集中有很多猫和狗的图片。
训练误差：在训练过程中，我们用训练集的一部分数据来训练网络，每一迭代会计算损失函数，并且通过反向传播算法更新网络参数，使得模型对训练集的数据拟合得更好。训练误差就是这个模型在训练集上的误差，即模型对训练集的数据拟合程度。
例如，如果我们训练模型100个epoch（迭代次数），每个epoch用训练集中的所有数据训练一遍，并在每个epoch的结束时计算模型在训练集上的准确率。如果训练集中有1000张猫和1000张狗的图片，那么训练误差就是模型在这2000张图片上的分类准确率。
泛化误差：在训练过程中，我们通过训练集来更新模型的参数，让模型在训练集上的表现不断提升。然而，我们真正关心的是模型对于新数据的泛化能力，即模型对于不在训练集中的数据的分类能力。泛化误差就是模型在新数据上的误差，它是我们关心的主要指标。
例如，我们在训练集上训练了一个分类器，准确率达到了90%。但是当我们将它应用到新的数据集时，发现它的准确率只有70%。这意味着模型出现了过拟合，它在训练集上表现很好，但在新数据上表现不佳。在这种情况下，我们需要采取一些措施来降低泛化误差，例如增加数据集的大小，加入正则化项等。

当我们有简单的模型和大量的数据时，我们期望泛化误差与训练误差相近。 当我们有更复杂的模型和更少的样本时，我们预计训练误差会下降，但泛化误差会增大。 模型复杂性由什么构成是一个复杂的问题。 一个模型是否能很好地泛化取决于很多因素。 例如，具有更多参数的模型可能被认为更复杂， 参数有更大取值范围的模型可能更为复杂。 通常对于神经网络，我们认为需要更多训练迭代的模型比较复杂， 而需要早停（early stopping）的模型（即较少训练迭代周期）就不那么复杂。

我们很难比较本质上不同大类的模型之间（例如，决策树与神经网络）的复杂性。 就目前而言，一条简单的经验法则相当有用： 统计学家认为，能够轻松解释任意事实的模型是复杂的， 而表达能力有限但仍能很好地解释数据的模型可能更有现实用途。 在哲学上，这与波普尔的科学理论的可证伪性标准密切相关： 如果一个理论能拟合数据，且有具体的测试可以用来证明它是错误的，那么它就是好的。 这一点很重要，因为所有的统计估计都是事后归纳。 也就是说，我们在观察事实之后进行估计，因此容易受到相关谬误的影响。 目前，我们将把哲学放在一边，坚持更切实的问题。

本节为了给出一些直观的印象，我们将重点介绍几个倾向于影响模型泛化的因素。

1. 可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。

2. 参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。

3. 训练样本的数量。即使模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

2. 模型选择

在机器学习中，我们通常在评估几个候选模型后选择最终的模型。 这个过程叫做模型选择。 有时，需要进行比较的模型在本质上是完全不同的（比如，决策树与线性模型）。 又有时，我们需要比较不同的超参数设置下的同一类模型。

例如，训练多层感知机模型时，我们可能希望比较具有不同数量的隐藏层、不同数量的隐藏单元以及不同的激活函数组合的模型。 为了确定候选模型中的最佳模型，我们通常会使用验证集。

2.1 验证集

验证集通常用于在训练过程中评估模型的性能，以帮助选择最佳的超参数（如学习率、正则化系数等）。在训练过程中，我们使用训练集训练模型，并使用验证集评估模型的性能，以便及时调整超参数和防止过拟合。

具体来说，我们将训练数据集分成两部分：训练集和验证集。训练集用于模型的训练，而验证集用于模型的评估。训练集和验证集应该是互不重叠的，即同一个样本不会同时出现在训练集和验证集中。

在训练过程中，我们使用训练集训练模型，并使用验证集评估模型的性能。通过比较训练误差和验证误差，我们可以判断模型是否过拟合。如果训练误差很小，但验证误差很大，那么说明模型过拟合了；反之，如果训练误差和验证误差都很小，那么说明模型的泛化能力很好。我们可以根据验证误差来选择最佳的超参数，以提高模型的性能。

2.2 K折交叉验证

K折交叉验证用以解决训练数据较少，我们并没有办法构建一个完整的验证集的问题，是一种评估模型泛化能力的方法。

在K折交叉验证中，我们首先将数据集分为K个大小相似的互斥子集，每次选取其中一个子集作为验证集，其余K-1个子集作为训练集，进行模型训练和验证。重复K次，每次选取不同的子集作为验证集，最终将K次的验证结果取平均值作为模型的最终性能评估指标。这样可以尽可能地利用数据，减小评估误差，提高模型的稳定性和可靠性。

举个例子，假设我们有1000条数据，希望使用K折交叉验证来评估模型的性能。我们将数据分为10个子集，每个子集包含100条数据。然后依次选取其中一个子集作为验证集，其余9个子集作为训练集，进行模型训练和验证，得到第一轮的验证结果。接着选取另一个子集作为验证集，其余9个子集作为训练集，进行模型训练和验证，得到第二轮的验证结果。以此类推，重复10次，最终将10次的验证结果取平均值作为模型的最终性能评估指标。

3. 过拟合和欠拟合

3.1 定义

过拟合（overfitting）指的是模型在训练集上的表现非常好，但在测试集上表现不佳的现象。也就是说，模型对训练集过度拟合，把训练集的一些噪声也学习进去了，导致在新的数据上表现不好。过拟合的主要原因是模型过于复杂，参数过多，导致模型能够完美地拟合训练集中的每一个数据点，但却失去了对新数据的泛化能力。

欠拟合指的是模型在训练数据上的表现不够好，即训练误差较高，而测试误差也较高。通常是由于模型过于简单，无法拟合数据中的复杂关系，或者是数据集过小，无法充分反映出数据的特征。

3.2 模型复杂度对拟合情况的影响

假设我们正在研究一个线性回归问题，其中有一个因变量 y 和两个自变量 x1 和 x2。我们用训练集和测试集分别来训练和测试模型，并使用均方误差（MSE）作为损失函数。

如果我们的模型是一个低阶多项式，例如一次或二次多项式，那么就有可能欠拟合。这意味着模型不能很好地拟合训练集数据，甚至也不能很好地拟合测试集数据，即使测试集数据是从相同分布中随机采样的。

如果我们的模型是一个高阶多项式，例如 10 次多项式，那么就有可能过拟合。这意味着模型可以在训练集上拟合得非常好，但是不能很好地拟合测试集数据，因为它学习了训练集数据的一些噪声。

模型复杂度是指模型可以表达的函数族的复杂程度，即模型可以表示的函数的集合。模型复杂度对过拟合和欠拟合的影响非常重要。

当模型的复杂度过高时，模型容易过拟合，即在训练数据上表现良好，但在测试数据上表现较差。因为模型过于复杂，它可以拟合数据集中的任何细节和噪声，从而导致模型对数据集中的噪声产生过度敏感，无法很好地泛化到新数据集上。这种情况下，可以通过减少模型的复杂度或者增加正则化项来解决过拟合问题。

当模型的复杂度过低时，模型容易欠拟合，即在训练数据和测试数据上表现都较差。因为模型太简单，无法很好地拟合数据集中的规律和特征，从而导致无法很好地泛化到新数据集上。这种情况下，可以通过增加模型的复杂度或者增加特征数量来解决欠拟合问题。

3.3 解决方法

过拟合的解决方法，后面几节我们会讲解其具体实现：

1. 数据增强（Data Augmentation）：通过一些数据增强的手段，如旋转、翻转、裁剪等方式，增加数据集的多样性，减少过拟合。
2. 正则化（Regularization）：在损失函数中加入正则化项，如L1正则化、L2正则化等方式，惩罚权重过大的情况，限制模型复杂度。
3. 提前停止（Early Stopping）：在训练过程中，通过监测验证集的表现，及时停止训练，避免过拟合。
4. Dropout：在神经网络中随机关闭一些神经元，减少过拟合。

欠拟合的解决方法：

1. 增加模型复杂度：通过增加模型的层数或者每层的神经元数量等方式，增加模型的学习能力。
2. 减少正则化：减少正则化的强度，放宽对模型复杂度的限制。
3. 增加特征量：对输入数据进行特征工程，增加更多的特征量，提高模型的学习能力。
4. 调整超参数：例如学习率、batch size等超参数的调整，可以影响模型的学习能力和学习速度。

指路第二节