The Ski-Rental Problem

问题描述

假设你正在上滑雪课。每节课结束后，你决定（取决于你喜欢的程度、你的骨骼状况和天气）是继续滑雪还是完全停止滑雪。
你可以选择以1美元一次的价格租用滑雪板，也可以以B美元的价格购买滑雪板。
你是买还是租？
如果你事先知道你一生中会滑雪多少次，那么选择租还是买就很简单了。
如果你要滑雪超过 $B$ 次，那就在开始前购买，否则就一直租。该算法的代价为 $min (T, B)$ 。
这种对未来了如指掌的策略被称为离线策略。

在线算法

实际上，你不知道你会滑雪多少次。你该怎么办？
在线策略是：取一个数字k，这样在租用k−1次后，您将购买滑雪板（就在第k次滑雪之前）。
如果我们取 $k = B$ ，那么可以保证我们支付不会超过离线策略成本两倍的费用
例如：假设B=7美元，那么，在6次租金之后，你就买了。总付款：6+7=13$

证明

最坏情况下， $k = B$ ，我们选择在滑雪次数 $T = k - 1$ 次后再也不滑雪，那么在线算法的总费用为 $B - 1 + B = 2 B - 1$ ，而离线算法取得的最优解为 $min (T, B) = B$ ，此时竞争比为 $\cfrac{2B-1}{B}=2-\cfrac{1}{B}$ ，则我们说这个策略是 $(2-\cfrac{1}{B})$ 竞争的
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The Lost Cow Problem

问题描述

Old McDonald失去了他最喜欢的奶牛。最后一次看到它朝着通向两条无限道路的路口行进。没有一位目击者能说出奶牛是选择了左边还是右边的路线。

在线算法

在线算法是9-competitive的，换句话说：在找到奶牛之前可能经过的距离最多是最佳离线算法（知道奶牛在哪里）距离的9倍
最坏的情况是，他发现奶牛的距离比他上次在这一侧搜索的距离稍远
因此， $OPT = 2 j + ε$ ，其中 $j =$ 迭代次数， $ε$ 是某个小距离。然后
伪代码如下：

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类似问题—寻宝藏

在这里插入图片描述

$m$ 条路编号为 $1, 2, 3... m$ ，从第一条路开始寻找，初始寻找距离为 $d = 1$ ，如果在这个距离内找到了宝藏则结束寻找，没找到则寻找距离翻倍，切换至寻找下一条路径，路径编号对 $m$ 取模，保证每次寻找的路径都是合法的，直到找到宝藏。

Treasure(m)
d = 1;current side = 1
while true do
	Walk distance d on current side
        if ﬁnd treasure then
            exit
        else
            d = 2d
            current side = (current side+1)%m
            return to starting point

该算法的竞争比为 $O (m)$

证明：

最坏的情况是，发现宝藏的距离比上次在这条路上搜索的距离稍远一点点，因此，最优解为 $OPT：2^j +ε$ ，其中 $j$ =迭代次数， $ε$ 是某个小距离。则：

$\begin{aligned} Cost OPT &= 2^j +ε>2^j\\ \ \ \ \ \ \ Cost ON&= m(1+2+4+...+2^{j+1})+2^j +ε\\ &= m · 2^{j+2} +2^j +ε = (4m+1)· 2^j +ε < (4m+1) · Cost OPT \end{aligned}$