前言

1、零钱兑换II
2、组合总和 Ⅳ
3、零钱兑换

一、零钱兑换II（力扣518）

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

类似与之前的目标和问题（01背包）求有多少种组合方式

目标和

在这里插入图片描述

分析
题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序

每个硬币可以重复使用，完全背包问题
整数amount 相当于完全背包问题中的背包容量
组合数：不强调元素之间的顺序
动规五部曲：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j] ：表示总金额为j时有dp[j]种方式
2、确定递推公式
dp[j] += dp[j - coins[i]];
3、dp数组如何初始化
dp[0]一定是1,因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
4、确定遍历顺序
外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）===组合数
是否可以颠倒？
不可以

外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币） ===排列数

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        //初始化 类似于目标和问题
        dp[0]=1;
        for(int i = 0; i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

在这里插入图片描述

二、组合总和 Ⅳ（力扣377）

给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
在这里插入图片描述
分析：
元素可以重复使用 --> 完全背包问题
求排列数 -->遍历顺序外层循环背包容量内层循环元素个数

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int j=0;j<=target;j++){
            for(int i = 0;i<nums.length;i++){
                if(j-nums[i]>=0){
                     dp[j] += dp[j-nums[i]]; 
                }
            }
        } 
        return dp[target];
    }
}

在这里插入图片描述

三、零钱兑换（力扣322）

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。
在这里插入图片描述
分析：
每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2、确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[j]]+1)
3、dp数组初始化
在测试用例中可以发现 dp[0] = 0;
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
4、确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        //初始化为最大值
        for(int i=0;i<dp.length;i++){
            dp[i] = max;
        }
        dp[0] = 0;
        //遍历
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                if(dp[j-coins[i]]!=max){
                    dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max? -1:dp[amount];
    }
}