前言

高精度即很大很大的数，超过了 long long 的范围，不能直接读取进行运算，需要用 string 读入，然后存储在数组中去。

高精度算法即把每一位上的数单独拿出来，分别计算，再跟每一位之间的关系，再研究，最后结果仍然存在数组中并输出。

一、高精度加法

思路
- 大整数的存储
  - 使用 vector 存储，a[0] 存储个位，依次往后最后存储最高位
- 代码思想
  - 从个位数开始依次，让a,b每一位相加，结果取模存在结果数组C中，t 表示进位
  - 每次两个数a,b的各个位相加再加上进位t
  - 直到加到最高位

模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//C=A+B
vector<int> add(vector<int> &A,vector<int> &B)//引用减少时间，不使用引用即把原数据copy一遍，费时间 
{
	vector<int> C;  //定义一个结果答案
    
    if(A.size()<B.size()) return add(B,A);
	int t=0;   //t表示进位，个位开始，无需+进位，即t=0 
	
	for(int i=0;i<A.size();i++){   
		t+=A[i];
		if(i<B.size()) t+=B[i];  //各个位上的数 和 进位 相加 
		C.push_back(t%10);  
		t/=10;  //求进位 
	} 
	
	if(t) C.push_back(1);  //离开循环时，t没有加 
	
	return C;
}

int main()
{
	string a,b;
	vector<int> A,B;
	
	cin>>a>>b;  //输入123456
	
	//存储大整数  倒着存储 
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');   //存储 6，5，4，3，2，1
	for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');   //注意这里是字符串的长度a
	
	auto C=add(A,B);
	
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);  //注意 倒序输出
	 
	return 0;
}

二、高精度减法

思路
- 大整数的存储
- 核心思想
  - 确保是大数减小数，首先从个位开始作差，取模存储在C中，t 表示借位（这里很巧妙具体看下面的代码）
  - 每次各个位上的数作差 - 借位 t ，取模存起来，有借位 t=1，没有t=0;
  - 直到大整数.size( ) 去前导0

模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//判断两个大整数的大小 
bool cmp(vector<int> &A,vector<int> &B){  
	if(A.size()!=B.size()) return A.size()>B.size();  //位数不同时 
	if(A.size()==B.size())   //位数相同时 
		for(int i=0;i<A.size();i++)
			if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];
}

//C=A-B
vector<int> sub(vector<int> &A,vector<int> &B)
{
	if(!cmp(A,B)) {
		cout<<'-';    //如果小减去大数：注意加个 - 负号 
		return sub(B,A);  //交换 
	}
	
	vector<int> C;
	int t=0;  //t表示借位 
	
	for(int i=0;i<A.size();i++){
		t=A[i]-t;  //各个位上的数，先减去借位
		if(i<B.size()) t-=B[i];    //B还有数的话，减去B[i];
        C.push_back((t+10)%10);  //巧妙：不用分情况，正负数一块取成正的
		 
		if(t<0) t=1;  //判断是否借位 
		else t=0;
	}
	
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();  //去掉前导0 如003 
	
	return C;
}

int main()
{
	string a,b;
	vector<int> A,B;
	
	cin>>a>>b;    //大整数的存储
	
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
	
	auto C=sub(A,B);
	
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);
	
	return 0;
 }

三、高精度乘法

高精度乘法一般是一个大整数乘一个比较小的数

思路

大整数的存储

核心思想

小的数b不拆，让b依次和大数A的每一位相乘从A的个位开始，t表示进位；
对每次计算A[i]*b+t的结果取模，存在结果数组中，借位除10即可，t可以任意大，比如可以进位22
直到大数的最高位&&t==0去掉前导0

模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//C=A*b
vector<int> mul(vector<int> &A,int b)
{
	vector<int> C;
	int t=0;  //t表示进位
	for(int i=0;i<A.size()||t;i++){   //两个条件都满足才能退出来，否则没有计算完
		t=A[i]*b+t;   //A的每一位与b相乘加上进位
		C.push_back(t%10);   //对计算结果取模，存在结果数组中
		t/=10;  
	}
    
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();  //去掉前导0
    
	return C;
}

int main()
{
	string a;
	int b;   // 小的数用int 来存就OK
	vector<int> A;
	
	cin>>a>>b;
	
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	
	auto C=mul(A,b);
	
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);
	
	return 0;
 }

四、高精度除法

高精度除法一般是一个大的整数除以一个小的整数

思路
- 大整数的存储
- 核心思想
  - 从最高位开始，最高位除以除数，余数r剩下；
  - r*10+大整数的下一位，再除以除数，余数r剩下；
  - 重复，直到个位去掉前导0
模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
          
//A➗b=C...r
vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r)
{
 	vector<int> C;
  	r=0;  //r表示余数
    for(int i=A.size()-1;i>=0;i--){
   	r=r*10+A[i];  //新的除数
   	C.push_back(r/b);   //把商存下来
    r%=b;  //取余数
}
          	
    reverse(C.begin(),C.end());   //反正问题，现在虽然是正序，但是与其他运算保持一致，输出的反序，所以现在反过来，负负得正
    while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();  //去掉前导0
          	
    return C;
}
          
          
int main()
{
  	string a;
 	int b;
    vector<int> A;
          	
    cin>>a>>b;
          	
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)  A.push_back(a[i]-'0');
          	
   	int r;   //除法多个一个余数
    auto C=div(A,b,r);
          	
    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)  printf("%d",C[i]);
          printf("\n");
	 	  printf("%d",r);
       	  return 0;
   }