hyp2f1

当c不是$0,-1,\cdots$时，对于$|z|<1$，超几何函数可表示为

$${}_2{F}_1(a;b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

其中$q^{(n)}$定义为

$$q^{(n)}=\{\begin{array}{rlr}& 1& n=0\\ & q(q+1)\cdots (q+n-1)& n>1\end{array}$$

所以在scipy中，超几何函数定义为

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z)

${}_2{F}_1$在a,b,c取某些特殊值的时候，可以化身为常见的初等函数，例如

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as sc
xs = np.arange(1,1001)/100
ys = sc.hyp2f1(1,1,2, -xs)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(121)
ax.plot(xs,ys)
ax = fig.add_subplot(122)
ax.plot(xs,np.log(1+xs)/xs)
plt.show()

效果如下图，可以说一毛一样

超几何函数常见的特殊情况有

$$\begin{array}{rl}{}_2{F}_1(1,1,2,-z)& =\frac{\ln (1+z)}{z}\\ {}_2{F}_1(a,1,1,z)& =(1-z{)}^{-a}\\ {}_2{F}_1(0.5,0.5,1.5,z^2)& =\frac{\arcsin z}{z}\end{array}$$

广义超几何函数

之所以超几何函数表示为${}_2{F}_1$，乃因存在一个更广泛的函数，广义超几何函数，可表示为

$${}_p{F}_q(a_1,a_2,\cdots ,a_p;b_1,b_2,\cdots ,b_q;z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\prod }_{i=1}^p(a_i{)}^n}{{\prod }_{i=1}^q(b_i{)}^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

当p=0, q=0时，上式退化为泰勒级数$e^z$。

其他超几何函数

scipy中提供了$p=1,q=1$以及$p=0,q=1$的形式，如下所示，其中b同样不能为非正整数。

scipy.special.hyp1f1(a, b, x)
scipy.special.hyp0f1(v, z)

其中${}_0{F}_1$是微分方程$f^{\prime \prime }(z)+v{f}^{\prime }(z)=f(z)$的解。

最后，scipy实现了库默尔函数hyperu(a, b, x)，为Kummer方程的解，Kummer方程的形式如下

$$z\frac{{\text{d}}^{2}w}{\text{d}{z}^2}+(b-z)\frac{\text{d}w}{\text{d}z}-aw=0$$