1 图基本介
1.1 为什么要有图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。
1.2 图的举例说明
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为
顶点。如图：
1.3 图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图(右图
5) 有向图
6) 带权图
2 图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
2.1 邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n
个点。
2.2 邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
- 举例说明
3 图的快速入门案例
- 要求: 代码实现如下图结构.
- 思路分析 (1) 存储顶点 String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges
- 代码实现
4 图的深度优先遍历介绍
1 图遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种
访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍
2 深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问
第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：
每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。 - 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然，深度优先搜索是一个递归的过程
3 深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
- 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
- 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
- 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
- 分析
4 深度优先算法的代码实现
5 图的广度优先遍历
5.1 广度优先遍历基本思想
- 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
- 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来
访问这些结点的邻接结点
5.2 广度优先遍历算法步骤 - 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
- 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列
6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
5.3 广度优先算法的图
6 广度优先算法的代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点集合
private int[][] edges;// 存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[],记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
// 测试
int n = 5;// 结点的个数
String VertexValue[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : VertexValue) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
// 显示一把邻结矩阵
graph.showGrap();
graph.showGrap();
// graph.dfs();
graph.bfs();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[5];
}
// 得到第一个邻结结点的下标w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻结结点的下标来获取下一个邻结结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
// i第一次就是0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先我们访问该节点，输出
System.out.printf(getValueByIndex(i) + "->");
// 将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
// 查找结点i的第一个邻结结点
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w结点已经被访问
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfs
public void dfs() {
// 遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
// 对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;// 表示队列的头节点对应下标
int w;// 邻结结点w
// 队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
// 访问结点，输出结点信息
System.out.printf(getValueByIndex(i) + "->");
// 标记为以访问
isVisited[i] = true;
// 将结点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻结点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
// 是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.println(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入列
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱点，找到w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出我们广度优先
}
}
}
// 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGrap() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回结点i（下标）对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1 v2对应的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 表示点的下标，即是第几个顶点"A" - "B" "A" ->0 "B" ->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
