引言

本节将介绍高斯网络

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条件独立性

在概率图模型——背景介绍中介绍了条件独立性，条件独立性的核心思想是：给定某随机变量集合${\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}$的条件下，可能存在随机变量集合${\mathcal{X}}_{\mathcal{B}},{\mathcal{X}}_{\mathcal{C}}$内部结点之间存在关联，但${\mathcal{X}}_{\mathcal{B}},{\mathcal{X}}_{\mathcal{C}}$之间不存在关联：
$${\mathcal{X}}_{\mathcal{B}}\perp {\mathcal{X}}_{\mathcal{C}}\mid {\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}$$
并且${\mathcal{X}}_{\mathcal{A}},{\mathcal{X}}_{\mathcal{B}},{\mathcal{X}}_{\mathcal{C}}$是三个不相交的特征集合。

概率图模型

在概率图模型——背景介绍中介绍了概率图模型(Probabilisitc Graphical Model,PGM)。从图的表示角度观察，它可以分为有向图和无向图两种：

• 基于有向图的概率图模型又称贝叶斯网络(Bayesian Network)，也称信念网络(Belief Network)。
  从条件独立性的角度观察，贝叶斯网络的条件独立性表达包含三种经典情况：

  • 同父结构(Common Parent)，对应概率图结构表示如下：
    
    上图结构表现的现象是：给定结点$i_1$的取值，结点$i_2,i_3$条件独立。
    $$i_2\perp i_3\mid i_1$$
  • 顺序结构(Sequence)，对应概率图结构表示如下：
    
    上图结构表现的现象是：给定结点$i_2$的取值，结点$i_1,i_3$相互独立。
    $$i_1\perp i_3\mid i_2$$
  • $\mathcal{V}$型结构(V-Structure)，对应概率图结构表示如下：
    
    该结构表现的现象是：给定$i_3$结点的条件下，$i_1,i_2$必不独立；相反，$i_3$取值未知的条件下，$i_1,i_2$相互独立。
    $$i_3\mid i_1\perp i_2$$

• 基于无向图的概率图模型又称马尔可夫网络(Markov Network)，也称马尔可夫随机场(Markov Random Field)。
  相比于贝叶斯网络，马尔可夫随机场中描述变量之间的依赖关系 仅包含一种格式：
  
  该结构表现的现象是：给定$i_1$结点的条件下，结点$i_2,i_3$相互独立。
  $$i_2\perp i_3\mid i_1$$

高斯网络

高斯网络介绍

高斯网络(Gaussian Network)，又称高斯概率图模型(Gaussian Probabilistic Graphical Model)。它同样也是一种概率图模型。
从随机变量的类型角度观察，将随机变量分为离散型随机变量核连续型随机变量两种。已经介绍的随机变量是离散型随机变量的有：

• 高斯混合模型(Gaussian Mixture Model,GMM)，其隐变量$\mathcal{Z}$包含离散的$|\mathcal{K}|$个取值，每个取值条件下的观测变量服从高斯分布：
  $$\mathcal{P}(\mathcal{X})=\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{\alpha }_k\cdot \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{\alpha }_k=1$$
• 隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)：隐变量$\mathcal{I}$是离散型随机变量，观测变量$\mathcal{O}$没有要求。
• 条件随机场(Condition Random Field,CRF)：隐变量$\mathcal{I}$是离散型随机变量，观测变量${\mathcal{O}}_{1:T}$常以序列形式出现。

而高斯网络是随机变量是连续型随机变量 的一种代表模型，其核心思想是：随机变量都是连续型随机变量，并且随机变量服从高斯分布。同上，根据图的表示，高斯网络同样分为有向图和无向图两种表达形式：

• 高斯贝叶斯网络(Gaussian Beyasian Network,GBN)
• 高斯马尔可夫网络(Gaussian Markov Network,GMN)

高斯网络的条件独立性

假设一个高斯图模型表示如下：

这只是一个简单的马尔可夫网络，并且每个结点都是一个一维随机变量。这里的随机变量均是连续型随机变量，并且均服从高斯分布：
$$x_i\sim \mathcal{N}({\mu }_i,{\Sigma }_i)$$
假设随机变量集合的维数是$p$，整个高斯图模型中所有随机变量对应的概率密度函数$\mathcal{P}(\mathcal{X})$表示为：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{X}& =(x_1,x_2,\cdots ,x_p{)}^T\\ \mathcal{P}(\mathcal{X})& =\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{p}{2}}|\Sigma {|}^{\frac{1}{2}}}\exp \left[-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\right]\end{array}$$
这明显是一个多元高斯分布。一个高斯图模型和一个多元高斯分布存在映射关系。其中$\mu$表示多元高斯分布的期望，$\Sigma$表示多元高斯分布的协方差矩阵。
其中，期望$\mu$表示为：
$$\mu =[{\mu }_i{]}_{p\times 1}={\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ ⋮\\ {\mu }_p\end{array}\right)}_{p\times 1}$$
协方差矩阵$\Sigma$表示为：
$$\Sigma =[{\sigma }_{ij}{]}_{p\times p}={\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{11},{\sigma }_{12},\cdots ,{\sigma }_{1p}\\ {\sigma }_{21},{\sigma }_{22},\cdots ,{\sigma }_{2p}\\ ⋮\\ {\sigma }_{p1},{\sigma }_{p2},\cdots ,{\sigma }_{pp}\end{array}\right)}_{p\times p}$$
其中${\sigma }_{ij}$表示随机变量$x_i,x_j$的协方差结果：
这里没有写成$(x_i-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_j{)}^T$因为已经设定的一维随机变量。
$${\sigma }_{ij}=Cov(x_i,x_j)=\mathbb{E}\left[(x_i-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_j)\right]$$

随机变量之间的边缘独立

根据协方差的定义，如果在同一物理量纲(基准)的条件下，$Cov(x_i,x_j)=0$，那个称随机变量$x_i,x_j$是不相关的。从独立性的角度观察，即$x_i,x_j$相互独立：
这个相互独立意味着$x_i$和$x_j$在不观察其他变量的条件下是‘边缘独立/绝对独立’的，这种独立在现实世界的问题中并不常见。
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{ij}=0& \Rightarrow x_i\perp x_j\\ {\sigma }_{ij}=0& \Rightarrow \mathcal{P}(x_i,x_j)=\mathcal{P}(x_i)\mathcal{P}(x_j)\end{array}$$
如果两个随机变量之间的基准存在差异，对应的${\sigma }_{ij}$也可能存在很大差异。为此可以引入相关系数(Correlation Coefficient)：
$$\begin{array}{rl}{\rho }_{ij}& =\frac{Cov(x_i,x_j)}{\sqrt{\mathcal{D}(x_i)}\sqrt{\mathcal{D}(x_j)}}\\ & =\frac{{\sigma }_{ij}}{\sqrt{{\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}}}\end{array}$$
如果相关系数${\rho }_{ij}=0$称$x_i,x_j$不相关。

随机变量之间的条件独立

条件独立性本质上是为了简化运算提出的一种假设，从而在概率图模型中得到映射。
关于高斯网络的条件独立性，引入一个概念：精度矩阵(Precision Matrix)，也称作 信息矩阵(Information Matrix)。它是协方差矩阵的逆矩阵：
第一次遇到‘精度矩阵’是在推断任务之边缘概率分布与条件概率分布,记录一下时间点~
$$\Lambda ={\Sigma }^{-1}={\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{11},{\lambda }_{12},\cdots ,{\lambda }_{1p}\\ {\lambda }_{21},{\lambda }_{22},\cdots ,{\lambda }_{2p}\\ ⋮\\ {\lambda }_{p1},{\lambda }_{p2},\cdots ,{\lambda }_{pp}\end{array}\right)}_{p\times p}$$
关于精度矩阵$\Lambda$与条件独立性的关联关系表示如下：
其中$x_{-i-j}$表示随机变量集合$\mathcal{X}$中除去$x_i,x_j$之外的其他随机变量。
$${\lambda }_{ij}=0\iff x_i\perp x_j\mid x_{-i-j}$$
精度矩阵的核心在于：精度矩阵中的元素与条件独立性(概率图的映射)紧密结合在一起。

下一节将介绍高斯贝叶斯网络。

相关参考：
高斯图模型、精度矩阵、偏相关系数、贝叶斯估计（利用贝叶斯做数据融合）、Wishart分布和逆Wishart分布
协方差——百度百科
概率图模型(四)：经典概率图模型
机器学习-高斯网络（1）-总体介绍