总结

本场周赛太拉跨了！T1做完后，T2一直被卡住，还好后面暂时跳过了T2去做T3，T3做完后又回过头来继续调试T2。在最后10分钟调过了（虽然后来看运行时长达到了1400ms（差点就过不了））。

这周被T2搞了，差点就是一题选手。

T1是暴力模拟；T2是预处理+二分；T3是图的遍历；T4是动态规划+前缀和优化。

T4还是具有一些思维难度的。

2475. 数组中不等三元组的数目

给你一个下标从 0 开始的正整数数组 nums 。请你找出并统计满足下述条件的三元组 (i, j, k) 的数目：

• 0 <= i < j < k < nums.length
• nums[i]、nums[j] 和 nums[k] 两两不同 。
  • 换句话说：nums[i] != nums[j]、nums[i] != nums[k] 且 nums[j] != nums[k]

返回满足上述条件三元组的数目。

提示

• 3 <= nums.length <= 100
• 1 <= nums[i] <= 1000

示例

输入：nums = [4,4,2,4,3]
输出：3
解释：下面列出的三元组均满足题目条件：
- (0, 2, 4) 因为 4 != 2 != 3
- (1, 2, 4) 因为 4 != 2 != 3
- (2, 3, 4) 因为 2 != 4 != 3
共计 3 个三元组，返回 3 。
注意 (2, 0, 4) 不是有效的三元组，因为 2 > 0 。

思路

模拟

// C++
class Solution {
public:
    int unequalTriplets(vector<int>& nums) {
        int ans = 0, n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                    if (nums[i] != nums[j] && nums[i] != nums[k] && nums[j] != nums[k]) ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

2476. 二叉搜索树最近节点查询

给你一个 二叉搜索树 的根节点 root ，和一个由正整数组成、长度为 n 的数组 queries 。

请你找出一个长度为 n 的 二维 答案数组 answer ，其中 answer[i] = [mini, maxi] ：

• mini 是树中小于等于 queries[i] 的 最大值 。如果不存在这样的值，则使用 -1 代替。
• maxi 是树中大于等于 queries[i] 的 最小值 。如果不存在这样的值，则使用 -1 代替。

返回数组 answer 。

提示：

• 树中节点的数目在范围 [2, 10^5] 内
• 1 <= Node.val <= 10^6
• n == queries.length
• 1 <= n <= 10^5
• 1 <= queries[i] <= 10^6

示例

输入：root = [6,2,13,1,4,9,15,null,null,null,null,null,null,14], queries = [2,5,16]
输出：[[2,2],[4,6],[15,-1]]
解释：按下面的描述找出并返回查询的答案：
- 树中小于等于 2 的最大值是 2 ，且大于等于 2 的最小值也是 2 。所以第一个查询的答案是 [2,2] 。
- 树中小于等于 5 的最大值是 4 ，且大于等于 5 的最小值是 6 。所以第二个查询的答案是 [4,6] 。
- 树中小于等于 16 的最大值是 15 ，且大于等于 16 的最小值不存在。所以第三个查询的答案是 [15,-1] 。

思路

二分

先通过中序遍历，将二叉搜索树转变成从小到大排好序的数组，然后在数组上二分即可。

中序遍历 $O(n)$，m次询问，每次都是$O(logn)$，总复杂度是 $O(n+mlogn)$

// C++
class Solution {
public:

    void dfs(TreeNode* x, vector<int>& v) {
        if (x == nullptr) return ;
        dfs(x->left, v);
        v.push_back(x->val);
        dfs(x->right, v);
    }

    vector<vector<int>> closestNodes(TreeNode* root, vector<int>& queries) {
        vector<int> v;
        dfs(root, v);
        int n = queries.size();
        vector<vector<int>> ans(n, vector<int>(2, -1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = queries[i];
            int l = 0, r = v.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (v[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            if (v[l] <= x) ans[i][0] = v[l];
            l = 0, r = v.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (v[mid] >= x) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            if (v[l] >= x) ans[i][1] = v[l];
        }
        return ans;
    }
};

周赛当天，我一直没想到先转成数组再进行二分。我一直在树上进行查找😓

贴一个TLE的代码

// C++
class Solution {
public:

    int findLower(TreeNode* root, int x) {
        int ans = -1;
        TreeNode* cur = root;
        while (cur != nullptr) {
            if (cur->val == x) return x;
            if (cur->val > x) cur = cur->left;
            else {
                ans = cur->val;
                cur = cur->right;
            }
        }
        return ans;
    }
    
    int findUpper(TreeNode* root, int x) {
        int ans = -1;
        TreeNode* cur = root;
        while (cur != nullptr) {
            if (cur->val == x) return x;
            if (cur->val < x) cur = cur->right;
            else {
                ans = cur->val;
                cur = cur->left;
            }
        }
        return ans;
    }
    
    vector<vector<int>> closestNodes(TreeNode* root, vector<int>& queries) {
        int n = queries.size();
        vector<vector<int>> ans(n, vector<int>(2, -1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = queries[i];
            ans[i][0] = findLower(root, x);
            if(ans[i][0] == x) ans[i][1] = x;
            else ans[i][1] = findUpper(root, x);
        }
        return ans;
    }
};

再贴一个周赛当天最后勉强AC的代码

// C++ 1460ms
class Solution {
public:

    // 将两次查找合并为一次
    void find(TreeNode* root, int x, int& l, int& r) {
        int L = -1, R = -1;
        TreeNode* cur = root;
        while (cur != nullptr) {
            if (cur->val == x) {
                L = R = x;
                break;
            } else if (cur->val > x) {
                R = cur->val;
                cur = cur->left;
            } else {
                L = cur->val;
                cur = cur->right;
            }
        }
        l = L;
        r = R;
    }

    
    vector<vector<int>> closestNodes(TreeNode* root, vector<int>& queries) {
        int n = queries.size();
        vector<vector<int>> ans(n, vector<int>(2, -1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = queries[i];
            find(root, x, ans[i][0], ans[i][1]);
        }
        return ans;
    }
};

然而今天（2022/11/23）再尝试提交上述代码，发现已经不能通过了 😓

2477. 到达首都的最少油耗

给你一棵 n 个节点的树（一个无向、连通、无环图），每个节点表示一个城市，编号从 0 到 n - 1 ，且恰好有 n - 1 条路。0 是首都。给你一个二维整数数组 roads ，其中 roads[i] = [ai, bi] ，表示城市 ai 和 bi 之间有一条 双向路 。

每个城市里有一个代表，他们都要去首都参加一个会议。

每座城市里有一辆车。给你一个整数 seats 表示每辆车里面座位的数目。

城市里的代表可以选择乘坐所在城市的车，或者乘坐其他城市的车。相邻城市之间一辆车的油耗是一升汽油。

请你返回到达首都最少需要多少升汽油。

提示：

• 1 <= n <= 10^5
• roads.length == n - 1
• roads[i].length == 2
• 0 <= ai, bi < n
• ai != bi
• roads 表示一棵合法的树。
• 1 <= seats <= 10^5

示例

输入：roads = [[3,1],[3,2],[1,0],[0,4],[0,5],[4,6]], seats = 2
输出：7
解释：
- 代表 2 到达城市 3 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 2 和代表 3 一起到达城市 1 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 2 和代表 3 一起到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 1 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 5 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 6 到达城市 4 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 4 和代表 6 一起到达首都，消耗 1 升汽油。
最少消耗 7 升汽油。

思路

树的遍历+贪心

考虑每条边上至少需要多少辆车。

我们可以通过DFS求出以某个节点作为根节点的子树的全部节点数量，而该节点再往上走时，一共的人数就是子树的节点数，这样我们就能算出这个节点往上经过的那条边，需要通过的总人数，于是能算出通过这条边最少需要的车的数量。

// C++
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
class Solution {
public:

	int h[N], e[M], ne[M], idx;
	
	bool st[N];
	
	long long ans = 0;
	
	void add(int a, int b) {
		e[idx] = b;
		ne[idx] = h[a];
		h[a] = idx++;
	}
	
	int dfs(int x, int& seat) {
        // 以x为根节点的子树的节点数量
		int cnt = 1;
		for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) {
			int u = e[i];
			if (st[u]) continue;
			st[u] = true;
			cnt += dfs(u, seat);
		}
		if (x != 0) {
			int k = cnt / seat;
			if (cnt % seat) k++;
            // 这里其实就是向上取整, 可以用 k = (cnt + seat - 1) / seat
			ans += k;
		}
		return cnt;
	}
	
    long long minimumFuelCost(vector<vector<int>>& roads, int seats) {
		if (roads.empty()) return 0;
        // 建图
        memset(h, -1, sizeof h);
		for (auto& r : roads) {
			add(r[0], r[1]);
			add(r[1], r[0]);
		}
        st[0] = true;
        // 深搜
		dfs(0, seats);
		return ans;
    }
};

注意：遍历树的时候，可以额外往dfs方法里传入一个father，就可以不用开visited数组来记录已经遍历的节点了！

2478. 完美分割的方案数

给你一个字符串 s ，每个字符是数字 '1' 到 '9' ，再给你两个整数 k 和 minLength 。

如果对 s 的分割满足以下条件，那么我们认为它是一个 完美 分割：

• s 被分成 k 段互不相交的子字符串。
• 每个子字符串长度都 至少 为 minLength 。
• 每个子字符串的第一个字符都是一个 质数 数字，最后一个字符都是一个 非质数 数字。质数数字为 '2' ，'3' ，'5' 和 '7' ，剩下的都是非质数数字。

请你返回 s 的 完美 分割数目。由于答案可能很大，请返回答案对 10^9 + 7 取余 后的结果。

一个 子字符串 是字符串中一段连续字符串序列。

提示

• 1 <= k, minLength <= s.length <= 1000
• s 每个字符都为数字 '1' 到 '9' 之一。

示例

输入：s = "23542185131", k = 3, minLength = 2
输出：3
解释：存在 3 种完美分割方案：
"2354 | 218 | 5131"
"2354 | 21851 | 31"
"2354218 | 51 | 31"

思路

思路一：暴力

周赛当天已经没时间做T4了，事后做了下，先记录下自己思路：首先找到所有分割点，每个分割点的前面是一个非质数，后面是一个质数。要将原字符串分割成k段，那么需要切k - 1刀。假设分割点一共有n个。那么问题就是，在n个分割点中，选择k - 1个，使得每一段子串的长度都大于等于minLength。那么一个比较直观的思路是，先求出所有分割点，然后暴力枚举所有的分割方案，并进行统计计数。

// C++
const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:

    bool isPrime(int x) {
        return x == 2 || x == 3 || x == 5 || x == 7;
    }

    int ans = 0;

    void dfs(string& s, int begin, int k, int& minLength, vector<int>& cut, int i) {
        if (i == cut.size() && k > 0) return ;
        // 剩余的切割次数
        if (k == 0) {
            if (s.size() - begin >= minLength) ans = (ans + 1) % MOD;
            return ;
        }
        for (int j = i; j < cut.size(); j++) {
            if (cut[j] - begin + 1 < minLength) continue;
            dfs(s, cut[j] + 1, k - 1, minLength, cut, j + 1);
        }
    }

    int beautifulPartitions(string s, int k, int minLength) {
        int n = s.size();
        if (!isPrime(s[0] - '0') || isPrime(s[n - 1] - '0')) return 0;
        vector<int> cut;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            if (!isPrime(s[i] - '0') && isPrime(s[i + 1] - '0')) cut.push_back(i);
        }
        dfs(s, 0, k - 1, minLength, cut, 0);
        return ans;
    }
};

这种解法，超时都超到河外星系去了。只通过了16/73个测试数据。

假设我们的分割点共有40个吧，需要从中挑选出20个，也就是我们要计算的组合数是 $C_{40}^{20}=137846528820$，上面是通过枚举每一种切割方案，每找到一个合法方案就累加1。那么DFS要递归执行$10^{12}$次。超时超太多了。而且题目里说了，答案可能很大，请对 $10^9+7$ 取模。也就是说答案肯定是会大于 $10^9$的，那么用暴力枚举每种方案的时间复杂度一定会超过 $10^9$。

这个问题看上去可以被拆分成更小的子问题，所以接下来我的想法就是动态规划。

思路二：动态规划

我们用状态f[i][j]表示，将字符串s在[0, i]内的部分，分割为j段满足条件的子字符串，分割的方案数目。

设字符串s的长度为n，那么最终的答案就是f[n - 1][k]。

接下来考虑下状态转移，对于某个状态f[i][j]，我们考虑其分割后，末尾最后一段子串。

假设最后一段子串的长度为p，那么f[i][j]的值需要加上一个f[i - p][j - 1]。

即需要加上，去除最后一段子串，前面部分，切割成j - 1段的方案数。

我们只需要枚举，所有满足条件的最后一段子串，并把方案数全部累加起来，就能得到f[i][j]。

由于我们可以预处理得到所有的分割点。那么对于f[i][j]，我们可以从位置i开始往前找，找到第一个分割点x，满足该分割点的位置到i的距离大于等于minLength（即，从分割点x进行分割，最后一段子串的长度是>= minLength的），那么对于x之前的所有分割点，都是满足条件的分割点，需要将方案数进行累加。

// C++
const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:

    unordered_set<char> primes{'2', '3', '5', '7'};

    // 找到与 end 距离大于等于 minLength 的 第一个分割点 
    int find(vector<int>& cuts, int end, int minLength) {
        int l = 0, r = cuts.size() - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (cuts[mid] <= end - minLength + 1) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        if (cuts[l] <= end - minLength + 1) return l;
        return -1;
    }

    int beautifulPartitions(string s, int k, int minLength) {
        int n = s.size();
        if (!primes.count(s[0]) || primes.count(s[n - 1])) return 0;
        // 存能分割的点的起始位置, 若s[i - 1]为非质数, s[i]为质数, 则存i
        vector<int> cuts; // 下标从1开始
        cuts.push_back(1); // 首先第一个位置是一个分割点
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (!primes.count(s[i - 2]) && primes.count(s[i - 1])) cuts.push_back(i);
        }

        // f[i][j] 将[1, i]的部分字符串分成j段不相交的子字符串的方案数
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(k + 1));
        // 分割点x为1时, k = 1, 需要加上 f[x - 1][k - 1] = f[0][0]
        // 应当初始化为1
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                // 找到第一个满足最后一段子串长度>=minLength的分割点, 并遍历其之前的所有分割点
                for (int p = find(cuts, i, minLength); p >= 0; p--) {
                    f[i][j] += f[cuts[p] - 1][j - 1]; // 方案累加
                    f[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }

        return f[n][k];
    }
};

上面这份代码也是超时，但是只超到了太阳系，不像第一种暴力做法那么离谱，一共通过了55/73个测试数据。

计算一下时间复杂度，字符串s的长度n最大为1000，k最大有1000，那么总共有$10^6$ 个状态。假设分割点的个数为c，那么每个状态的转移，需要c的计算量，我看了一组超时的数据，其分割点数量在250左右，那么此时总的时间复杂度就已经达到了 $10^8$ 。

思路三：动态规划+前缀和

其实观察一下上面的状态转移：会发现，先是找一个最近的分割点，然后需要将该分割点前面所有分割点的状态进行一下累加。

这就很容易和前缀和联系起来，我们用前缀和可以把这个状态的累加，优化为 $O(1)$ ，这样总的时间复杂度就能控制在 $10^6$ ，就不会超时啦。

不过这个前缀和到底要怎样表示，我还是想了半天。

其实，上面的状态表示数组的第一维，我们可以不用枚举[1, n]，因为字符串的有些位置是无效的。我们只需要枚举那些切割点的位置。比如字符串长度为10，其中切割点有：1，3，8。其实我们不需要枚举切割点以外的位置。为什么呢？因为在某个状态进行转移时，它肯定是从某个切割点转移过来的。那么我们只要枚举切割点的那些位置就行了。

所以，我们修改一下状态表示，将状态表示的第一维，设定为切割点的下标。

假设切割点的数组为cut，其中保存了所有切割点的下标，总共有p个切割点。

假设第i个切割点，对应的字符串s中的位置为x，即cut[i] = x；

那么我们用f[i][k]表示，字符串s的[0, x - 1]范围内，切割出k个子串的方案数。

由于我们打算用前缀和进行优化，所以实际的f[i][k]，等于f[0][k] + f[1][k] + ... + f[i][k]

但我们需要额外添加一个切割点为n，指向字符串s最后一个位置（n - 1）之后的位置。

这样，若切割点个数设为p，则f[p - 1][k]就表示切割点cut[p - 1] = n之前的部分，切割成k个子串的方案数，也就是字符串s的[0, n - 1]的部分，切割成k个子串的方案数。

对了，由于我们存的是前缀和，所以我们实际的答案应该是f[p - 1][k] - f[p - 2][k]，需要将前缀和还原一下。

// C++  744ms
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
class Solution {
public:

    unordered_set<char> primes{'2', '3', '5', '7'};

    // r是分割点数组的下标
    // 找到curs[r]左侧的第一个分割点, 使得最后一段子串的长度>= minLength
    int find(vector<int>& cuts, int r, int minLength) {
        for (int i = r; i >= 0; i--) {
            if (cuts[r] - cuts[i] >= minLength) return i;
        }
        return -1; // 未找到
    }

    int beautifulPartitions(string s, int k, int minLength) {
        int n = s.size();
        if (!primes.count(s[0]) || primes.count(s[n - 1])) return 0;
        // 分割点仍然存质数的位置, 比如s[i - 1]是非质数, s[i]是质数, 则分割点存i
        vector<int> cuts;
        cuts.push_back(0); // 第一个位置肯定是一个分割点
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (!primes.count(s[i - 1]) && primes.count(s[i])) cuts.push_back(i);
        }
        // 分割点额外存一个n, 指向字符串最后一个位置的下一个位置
        cuts.push_back(n);
        // 获取一下分割点的总数量
        n = cuts.size();
        // 开状态数组
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1));
        // cut[0] = 0, 第一个分割点前面(空串,分割成0个, 方案为1)
        f[0][0] = 1;
        // 外层循环分割的组数
        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            // 内层循环分割点, 方便计算前缀和
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                int p = find(cuts, i, minLength);
                if (p == -1 || j == 0) continue;
                f[i][j] = (f[i][j] + f[p][j - 1]) % MOD;
            }
        }
        // + MOD 后再 % MOD , 处理负数的情况
        return (f[n - 1][k] - f[n - 2][k] + MOD) % MOD;
    }
};

其他大神的代码：（比起上面我自己的代码优雅太多 (ㄒoㄒ)）

const int N = 1010, MOD = 1e9 + 7;

class Solution {
public:
    int f[N][N];

    int beautifulPartitions(string s, int k, int len) {
        int n = s.size();
        s = ' ' + s;
        unordered_set<char> s1{'2', '3', '5', '7'};
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i ++ ) {
            int sum = 0;
            for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
                // 累加计算前缀和
                if (j >= len && s1.count(s[j - len + 1]))
                    sum = (sum + f[i - 1][j - len]) % MOD;
                    // 当结尾是非质数时, 记录答案
                if (!s1.count(s[j])) f[i][j] = sum;
            }
        }
        return f[k][n];
    }
};