前言

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本文为 数据结构基础【树】 相关知识，下边将对树的定义与相关概念，二叉树的定义、特点与性质，二叉树的存储结构，二叉树的遍历，二叉查找树，平衡二叉树，红黑树，B-树与B+树等进行详尽介绍~

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前言
目录
一、树的概念
- 1.树的定义
- 2.结点的度
- 3.结点关系
- 4.结点层次
- 5.树的深度
二、二叉树
- 1.二叉树的定义
- 2.二叉树的特点
- 3.二叉树性质
- 4.斜树
- 5.满二叉树
- 6.完全二叉树
- 7.二叉树的存储结构
- 8.二叉树的遍历
三、其他的树
- 1.二叉查找树
- 2.平衡二叉树（AVL树）
- 3.红黑树
- 4.B-树（也叫B树）
- 5.B+树
后记

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一、树的概念

1.树的定义

树（Tree） 是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
（2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

树的定义还需要强调以下两点：

（1）根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点；
（2）子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

下图为一棵普通的树：
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由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。

2.结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。
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3.结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点（父节点）。如上图中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。上图中，结点B与结点C互为兄弟结点。

4.结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。下图表示了树的层次关系。
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5.树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示的树的深度为4。

二、二叉树

1.二叉树的定义

二叉树 是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

下图为一棵普通二叉树：
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2.二叉树的特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：

（1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
（3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3.二叉树性质

（1）在二叉树的第i层上最多有 2^i-1 个节点。（i>=1）
（2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）
（3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
（4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
（5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：1)若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; 2) 若 2i>n，则该结点无左孩子结点，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点； 3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

4.斜树

斜树： 所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

左斜树：
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右斜树：

5.满二叉树

满二叉树： 在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点：

（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
（2）非叶子结点的度一定是2。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

下图为一棵满二叉树：
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6.完全二叉树

完全二叉树： 对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树的特点：
（1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
（2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
（3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
（5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
（6）注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

下图为一棵完全二叉树：
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7.二叉树的存储结构

（1）顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如下图表示：
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由图可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？（其中浅色结点表示结点不存在。）

其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。那么对于右斜树极端情况对应的顺序存储结构如下图所示：
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可以看出，对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。

（2）二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如下图所示：
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定义结点的代码如下：

//定义树节点
public static class TreeNode{
    int val;
    TreeNode leftchild;
    TreeNode rightchild;
    public TreeNode(int data){
        this.val = data;
    }
}

对于一颗二叉树可以采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。
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8.二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。二叉树的访问次序可以分为四种（以下边这棵树为例）：
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（1）前序遍历

前序遍历 通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
上图所示二叉树的先序遍历的结果： ABDHIEJCFG

（2）中序遍历

中序遍历 就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。
上图所示二叉树的先序遍历的结果： HDIBJEAFCG

（3）后序遍历

后序遍历 就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。
上图所示二叉树的先序遍历的结果： HIDJEBFGCA

（4）层次遍历

层次遍历 就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。
上图所示二叉树的层次遍历的结果： ABCDEFGHIJ

递归方式实现前序、中序、后序遍历代码：

public class RecursiveBinaryTree {

    public static class Node {
        public int value;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(int v) {
            value = v;
        }
    }

    // 先序打印所有节点
    public static void Preorder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.println(root.value);
        Preorder(root.left);
        Preorder(root.right);
    }

    public static void Inorder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Inorder(root.left);
        System.out.println(root.value);
        Inorder(root.right);
    }

    public static void Postorder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Postorder(root.left);
        Postorder(root.right);
        System.out.println(root.value);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Node root = new Node(1);
        root.left = new Node(2);
        root.right = new Node(3);
        root.left.left = new Node(4);
        root.left.right = new Node(5);
        root.right.left = new Node(6);
        root.right.right = new Node(7);

        Preorder(root);
        System.out.println("====先序遍历====");
        Inorder(root);
        System.out.println("====中序遍历====");
        Postorder(root);
        System.out.println("====后续遍历====");
    }
}

用栈实现先序遍历比递归方式效率高一点：

public class UnRecursiveBinaryTree {

	public static class Node {
		public int value;
		public Node left;
		public Node right;

		public Node(int v) {
			value = v;
		}
	}

	public static void pre(Node head) {
		System.out.print("pre-order: ");
		if (head != null) {
			Stack<Node> stack = new Stack<Node>();
			stack.add(head);
			while (!stack.isEmpty()) {
				head = stack.pop();
				System.out.print(head.value + " ");
				if (head.right != null) {
					stack.push(head.right);
				}
				if (head.left != null) {
					stack.push(head.left);
				}
			}
		}
		System.out.println();
	}
}

三、其他的树

1.二叉查找树

二叉查找树，又叫做二叉搜索树，二叉排序树。

二叉查找树的特征：

（1）若左子树不为空，那么左子树所有节点的值小于均小于他的根节点的值。
（2）若右子树不为空，那么右子树的所有节点的值大于根节点的值。
（3）左右子树也分别为二叉排序树。
（4）没有键值相等的节点。

二叉排序树查找操作：

首先我们提供一个二叉树的结构，然后我们来看看二叉排序树的查找是如何实现的。

public class BinaryTree {

        public static void main(String[] args) {
            // 主要是表达查询，所以手动构造一棵二叉排序树
            TreeNode binaryTree1 = new TreeNode();
            binaryTree1.data = 62;

            TreeNode binaryTree2 = new TreeNode();
            binaryTree1.lchild = binaryTree2;
            binaryTree2.data = 58;

            TreeNode binaryTree3 = new TreeNode();
            binaryTree2.lchild = binaryTree3;
            binaryTree3.data = 47;

            TreeNode binaryTree4 = new TreeNode();
            binaryTree3.lchild = binaryTree4;
            binaryTree4.data = 35;

            TreeNode binaryTree5 = new TreeNode();
            binaryTree4.rchild = binaryTree5;
            binaryTree5.data = 37;

            TreeNode binaryTree6 = new TreeNode();
            binaryTree3.rchild = binaryTree6;
            binaryTree6.data = 51;

            TreeNode binaryTree7 = new TreeNode();
            binaryTree1.rchild = binaryTree7;
            binaryTree7.data = 88;

            TreeNode binaryTree8 = new TreeNode();
            binaryTree7.lchild = binaryTree8;
            binaryTree8.data = 73;

            TreeNode binaryTree9 = new TreeNode();
            binaryTree7.rchild = binaryTree9;
            binaryTree9.data = 99;

            TreeNode binaryTree10 = new TreeNode();
            binaryTree9.lchild = binaryTree10;
            binaryTree10.data = 93;

            TreeNode treeNode = serachBinaryTree(binaryTree1, 35000);
            System.out.println(treeNode == null ? "没有这个数" : treeNode.data);
        }

        /**
         * 二叉排序树
         *
         * @param root
         *            待查询的二叉排序树
         * @param target
         *            查找关键字
         * @return 没有返回null，有则返回节点
         */
      public static TreeNode searchBinaryTree(TreeNode root, int target) {
        if (root == null) { // 树节点不存在，返回
            return null;
        } else if (target == root.data) { // 查找成功
            return root;
        } else if (target < root.data) { // 关键字小于根节点查找左子树
            return searchBinaryTree(root.lchild, target);
        } else { // 关键字大于根节点查找右子树
            return searchBinaryTree(root.rchild, target);
        }
    }
        /**
         * 二叉树，数据结构
         *
         */
        private static class TreeNode {
            int data;
            TreeNode lchild;
            TreeNode rchild;
        }

}