1. 蒙提·霍尔问题（三门问题）

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率?

简单直观的图示解答

初一看，还以为改选和不改选另外一扇门的几率都是 $1/3$ ，下面用条件概率来直接计算

a) 坚持原来的选择

因为汽车的位置是随机放置的，所以获奖几率为 $1/3$ .

b) 换另外一扇门

定义一开始选到汽车为事件 $B_1$ ,换另外一扇门以后明显不可能获奖了，则 $P(A|B_1)=0$ .

一开始选到山羊为事件 $B_2$ ,最终获奖也就是开出的那扇门对应的是汽车为事件 $A$ ，那么获奖的概率可采用全概率公式计算如下

$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)$

也就是

$P(A)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

虽然问题就解决了，但还是不知道我们最开始错误的直觉来自哪里。我们来思考一下主持人“提供信息”的问题。一切的改变，都是因为主持人提供给我们的信息：也就是说主持人开的那扇对应山羊的门，提供了额外的信息.因为主持人很明显是知道门背后都是些什么，才打开山羊门的。如果主持人根本就不知道汽车在哪里，只是随手选择了一扇门，而这扇门恰好是山羊门的话，主持人也就是等于没有提供任何信息，这还是原先的随机猜测开门事件。也就是说按主持人的提示更换选择，等价于利用了额外的有效信息,可视为先验信息，这增加了获奖的概率。

2. 犯人的难题

一个监狱里关了三个犯人，已知有两个人即将被释放，但在事情没公布之前，被释放人的身份是保密的.其中一个犯人问看守他的另外两个狱友哪一个被释放。看守拒绝了，他的理由是“在现有的信息下你被释放的概率本来为2/3，如果我告诉了你问的信息，将在你和另外一个犯人之前确定哪一个被释放，那你被释放的概率将变为了1/2，那对你不友好！”，看守所列理由的错误在哪里？

我们看一下这个问题，咋一看很像三门问题，但是它和三门问题有一个决定性的不同！！！三门问题中，抽奖人可以决定要不要更换选择。而在这个问题中，囚犯没有有资格决定释放谁吗？不管看守是否告诉囚犯，都是按既法定程序释放谁，不论他说不说，囚犯也改变不了释放谁的事实，所以从头至尾他被释放的概率都是2/3，详细的计算可先定义如下几个事件.

事件 A =“A被释放”，

事件 B =“B被释放”，

事件 C =“C被释放”，

事件 W =“看守说B不被释放”。

不失一般性，假定上述问看守的就是A.

由条件概率公式：

$P(A|W)=\frac{P(A\cap W)}{P(W)}$

我们首先算分母。由全概率公式：

$P(W)=P(A)P(W|A)+P(B)P(W|B)+P(C)P(W|C)$

首先，在未揭晓到底谁被释放前，三人释放的概率相同，也就是

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$

事实上如果把全概率公式代入条件概率公式，式子就刚好变成了贝叶斯公式.

$P(W|A)$ 表示A被释放的条件下，看守说B不被释放的概率。由于如果A是被释放的人，那么B与C之中有一个人不被释放，看守既可以说B不被释放，也可以说C不被释放，而B和C的地位是相等的，因此这个概率是 $\small \frac{1}{2}$ 。

$P(W|B)$ 表示B被释放的条件下，看守说B被不被释放的概率，这是矛盾的，所以这个概率为0。

$P(W|C)$ 表示C被释放的条件下，看守说B不被释放的概率。由于C被释放，那么B一定不被释放，所以这个概率为1。

把上面的六个概率代入全概率公式，得 $\small P(W)=\frac{1}{2}$ .

同时我们已经求出 $\small P(A\cap W)=P(A)P(W|A)=\frac{1}{6}$ ，所以再代入条件概率公式，得

$\small P(A|W)=\frac{P(A\cap W}{P(W)})=\frac{1}{3}$

即看守回答B不被释放后，A被释放的概率仍然是 $\small \frac{1}{3}$ ，而非 $\small \frac{1}{2}$ 。同时更神奇的是，C被释放的概率增加到了 $\small \frac{2}{3}$ ，因为

$\small P(C|W)=1-P(A|W)-P(B|W)=1-\frac{1}{3}-0=\frac{2}{3}$

我们回头分析为什么看守（和我们大多数人）的推理是错的，以及这个问题反直觉的地方在哪里。根本原因在于大多数人把事件 W 等同于事件 $\small \bar{B}$ （ $\small \bar{B}$ 指的是事件B的对立事件）。

我们首先设定了事件 W =“看守说B不被释放”，事件 B =“B将被释放”，那么事件 $\small \bar B$ =“B不被释放”。

问题的核心在于：“看守说B将不被释放”与“B不被释放”两句话看似一样，其实包含了不同的信息。我们从对立事件的角度就能分析出背后的奥妙。

事件W （即：看守说B不被释放）的对立事件是“看守说C不被释放”，而事件 $\small \bar B$ （即：B不被释放）的对立事件是“B将被释放”。两个事件的对立事件是不同的。第一个事件着重回答“谁将不被释放”，第二个事件的重点在于“B是否会被释放”。而看守错误地将事件 $\small W$ 等同于事件 $\small \bar B$ ，由此他产生了如下推理：

$\small \small P(A|\bar B)=\frac{P(A\cap \bar B) }{P(\bar B)}$

（正如之前的分析，这个式子与条件概率公式的区别在于把 $\small W$ 都替换成了 $\small \bar B$ ）。

由于 $\small P(\bar B)=\frac{2}{3}$ ， $\small \small P(A \cap \bar B)=P(A)P(\bar B|A)=\frac{1}{3} \times 1 =\frac{1}{3}$

所以 $\small P(A|\bar B)=P(A\cap \bar B)P(\bar B)=\frac{1/3}{\2/3}=\frac{1}{2}$

错误答案 $\small 1/2$ 就是这样产生的。

3.贝特朗悖论

该例子由贝特朗1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到的一个悖论. 在一给定圆内所有的弦中任选一条弦提出，它说明了这样一个原理：解决一个实际问题时，必须建立无歧义的概率模型.设在一个圆内有一个正三角形，内接于圆周.现在随机的选择一个弦，问其长度大于内接三角形的边长的概率是多少？其回答基于随机选择导致了下图a和图b所示两种互相矛盾的结果.

在图a中，取一个半径 $\small AB$ ，在 $\small AB$ 上随机的选取一个点C，作一条弦垂直于 $\small AB$ .由初等几何可知，当C点的位置恰好位于 $\small AB$ 的中点时，弦的长度刚好等于内接正三角形的边长，而远离圆心时，弦的长度减小.这样弦的长度大于内接正三角形的边长的概率等于 $\small 1/2$ .

在图b中，圆周上取一点V作为顶点.通过V先画出一条切线，然后随机的画出一条通过V的直线.记直线与切线的夹角为 $\small \Phi$ ，由于这条直线是随机画出来的，可以认为夹角 $\small \Phi$ 在 $\small (0,\pi)$ 之间是均匀分布的.现在考虑这条直线割圆得到的弦的长度.由初等几何可知，当 $\small \Phi$ 位于 $\small \small (\pi/3,2\pi/3)$ 的范围内，弦的长度大于三角形的边长.由于 $\small \Phi$ 的取值位于 $\small (0,\pi)$ ，故而可得这个弦大于内接正三角形的概率为 $\small 1/3$ .