泊松随机变量的分解与求和

news2024/12/27 9:14:37

1.泊松随机变量的分解

假设传感器发出的信号为0-1信号.发出1的概率为p,发出0的概率为 1-p,并且和以前所发的信号独立.现在假设一定时间内发出信号的个数为泊松随机变量，其参数为\lambda, 可以证明在同一段时间内发出1的个数也是泊松随机变量，其参数为p\lambda.

证明：设X 和Y分别为同一时间段内发出的信号1和0的个数，那么Z=X+Y就是这一时间段内发出信号的个数，利用全概率公式，得到

        \begin{align} P(X=n,Y=m) &=P(X=n,Y=m|Z=n+m)P(Z=n+m) \nonumber \\ &=\binom{n+m}{n}p^n(1-p)^m\cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^{n+m}}{(n+m)!} \nonumber \\ &=\frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^n}{n!}\cdot \frac{e^{-\lambda(1-p)}\(\lambda(1-p))^{m}}{m!} \nonumber \end{align}

由此得到

                \begin{align} P(X=n) &=\sum_{m=0}^{\infty}P(X=n,Y=m) \nonumber \\ &=\frac{e^{ -\lambda p}(\lambda p)^n}{n!}e^{ -\lambda (1-p)}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{((\lambda (1-p))^m}{m!} \nonumber \\ & =\frac{e^{ -\lambda p}(\lambda p)^n}{n!}e^{ -\lambda (1-p)}e^{ \lambda (1-p)} \nonumber \\ & = \frac{e^{ -\lambda p}(\lambda p)^n}{n!} \nonumber \end{align}

这说明X 是一个泊松随机变量，参数为\lambda p.

2.个数服从泊松分布的随机变量之和

用矩母函数证明个数服从泊松分布的多个独立同分布的伯努利随机变量之和服从泊松分布

证明：假设N是服从参数为\lambda的泊松分布的随机变量. X_i(i=1,2,...,N)是独立的参数为p的随机变量，可令

                ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​L =X_1+X_2+...+X_N

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