【算法】【蓝桥23国A软件C】四版代码思路分析与逐步优化

news2025/4/17 11:38:13

题目来源：第十四届蓝桥杯大赛软件赛国赛C/C++ 大学 A 组

题目描述：

问题描述

给定一个 W×H 的长方形，两边长度均为整数。小蓝想把它切割为很多个边长为整数的小正方形。假设切割没有任何损耗，正方形的边长至少为 2，不允许出现余料，要求所有正方形的大小相等，请问最多能切割出多少个?

输入格式

输入一行，包含两个整数 W, H，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。如果不存在满足要求的方案，输出 0。

【测试用例及其规模见文末】

题目解析：

方法一：暴力求解（无关数论）（得分：7/10）

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
  ll w,h;
  cin>>w>>h;
  ll a=min(w,h);
  ll b=max(w,h);  // 取较小的边为 a，较大为 b
  ll ans=0;
    // 枚举 a 的约数（通过 a/i 形式间接枚举，a/i >= 2 保证正方形边长 ≥2）
  for(ll i=1; a/i >= 2; i++)
  {
    if(a % i != 0) continue;   // i 不是 a 的约数，跳过
    ll cur = a / i;            // cur 是一个候选的正方形边长

    if(b % cur == 0)           // 如果 b 也能整除 cur，说明 w 和 h 都能被 cur 整除
        ans = cur;             // 更新当前满足条件的最大正方形边长
  }

  // 计算可以切多少个边长为 ans 的正方形
  ans = (a / ans) * (b / ans);
  cout << ans;
  return 0;
}

问题之一：粗心：没有判断找不到的情况，即输出ans=0的情况

思路分析：

目标是找一个最大的正方形边长 d（d ≥ 2），使得 w % d == 0 && h % d == 0，即正方形能完全铺满矩形；
枚举的是 i，通过 cur = a / i，我们得到了 a 的一个因数 cur；
如果 b % cur == 0，那说明 cur 也整除 b，即 cur 同时整除 w 和 h；
记录这个满足条件的最大 cur（实际上随着 i 增加，cur 减小，所以最后 ans 是最大满足条件的正方形边长）；
用这个 ans 去计算：一共能切 (w / ans) * (h / ans) 个正方形。

方法二：暴力求解（优化方法一）（得分：8/10）

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
  ll w,h;
  cin>>w>>h;
  ll a=min(w,h);
  ll b=max(w,h);
  ll ans=0;
  for(ll i=1;a/i>=2;i++)
  {
    if(a%i!=0)
      continue;
    ll cur=a/i;
    if(b%cur==0)
        ans=cur;
  }
  if(ans!=0)
      ans=(a/ans)*(b/ans);
  cout<<ans;
  return 0;
}

优化了ans可能为0的情况

问题：该方法时间复杂度极高，因此有两组测试用例没有通过在 W, H ≤ 10^9 的范围下会超时，尤其在最坏情况（比如 W=10^9, H=10^9-1）下要跑上亿次循环。

假设 a = 10^9，那么最坏情况下你会从 i = 1 枚举到 i ≈ 5×10^8，也就是5亿次循环，这肯定爆了

方法三：暴力求解（优化方法二）（得分：10/10）

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
  ll w,h;
  cin>>w>>h;
  ll a=min(w,h);
  ll b=max(w,h);
  ll ans=0;
  for(ll i=a/2;i>=1;i--)
  {
    if(a%i!=0)
      continue;
    ll cur=a/i;
    if(b%cur==0)
    {
        ans=cur;
        break;
    }
  }
  if(ans!=0)
      ans=(a/ans)*(b/ans);
  cout<<ans;
  return 0;
}

为什么它能过所有测试？

从 a/2 开始倒序找 a 的因数，最早遇到的符合条件的就是最大可行边长；
一旦找到了合法边长就 break，省下后续判断；
a/2 → 1 最多只跑 5e8 次（极限），但实际用例中基本很快找到；

方法四：数论方法——最大公因数（得分：10/10）

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(long long a,long long b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);//辗转相除法计算最大公约数
}

signed main() {
    int w, h;
    cin >> w >> h;
    int up = gcd(w, h);
    if (up == 1) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i * i <= up; i++) {
        if (up % i == 0) {
            ans = i;
            break;
        }
    }
    if (!ans)
        ans = up;
    ans = (w * h) / (ans * ans);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

利用辗转相除法计算最大公约数（gcd函数）

方法：