定积分应用回顾

需要常常回顾，主要是一些公式。一阶线性微分方程也有一些公式要记住。

常微分方程的概述

属于重点内容。需要多花时间精力的内容是后面的内容。积分，常微分方程等，是更加重要的内容。考研考的都是相对比较简单的微分方程的，考一些特殊的微分方程。未知函数是一元函数的方程是常微分方程。考研只考常微分方程，不考其他的微分方程。关键是试题的研究。根据常微分方程，可以首先求出来一个一元函数，然后考虑一元函数的一些性质，这个之所以重要，因为可以综合其他知识点来进行考察。实际上这种题不是非常综合，各个板块的独立性实际还是非常强的，各个击破即可。

一阶微分方程

可分离变量。齐次方程。一阶线性微分方程（一阶线性方程）。伯努利方程。全微分方程（强化）。

可分离变量

分离变量之后方程左右两边同时求不定积分。求不定积分最后需要加一个 C， C 称为独立任意常数。假设出现对数函数，这个独立任意常数使用 $ln{C}_1$ ，这个是一个细节。每次告诉自己，slow down and take your time .求不定积分求出来的是通解。常数的个数等于微分方程的阶数。一阶微分方程有一个任意常数，二阶微分方程有两个任意常数。

求特解的话，需要给一个点，给一个一元函数上面的点，这个条件认为是初值条件。把点代入通解，即可求得特解。

通解是不是全部解？通解 + 分母为零的情况的解（或者其他无定义的情况的解），是全部解。通解并不等价于全部解。但是考试只要求通解。计算的时候有很多细节，都需要自己每一步都计算清楚。需要多回顾之前的内容，因为我们是会遗忘的，只有多多重复才能让自己的知识掌握得非常扎实。微分的定义之类的东西都可以用来包装，一些知识点不记得，或者不熟练，看不出来这种包装就做不出来这题。微分定义或者导数定义都是用来包装的。

齐次方程

换元之后用可分离变量的方法。

三阶线性微分方程

最高阶导数是三阶。最重要的是线性微分方程。假设等式右边等于零，是齐次，右边不等于零，是非齐次。当然前提是左边整理为了全是导数的式子，导数前面用 x 的函数作为系数，用加减符号连接。突然发现这个一下子讲到后面去了。

一阶线性微分方程

算了，不用小标题了，直接用大标题，表示这个部分的重要性。解法就是用公式法。公式法就是最牛的方法。哎算了，我还是死记硬背好了。推导过程太有操作性了，我不想动脑子。。。积分中间的步骤可以稍微省略一点，所以中间的一些结论是需要记住的，可以极大地提高自己的运算速度和计算的准确率。关键是真能把一个题从头算到尾，每一步都是有理有据，并且最后的计算结果也是正确的。

不定积分的被积分函数出现了绝对值

假设不定积分的被积函数里面出现了绝对值，该怎么处理。有的函数可能分类讨论之后发现是否加绝对值答案都是相等的，特殊问题和特殊情况的时候可以不加绝对值，比如说求解一阶线性微分方程的通解和特解的时候，可以不加绝对值。因为是找一个积分因子，辅助函数。只需要一个就好！！

梳理

现在把网课的进度跟上了。但是感觉除了网课，还需要自己慢慢梳理一下。网课的节奏实际上对我来说是非常快速的，我认为我的接受能力不能算很强，只能算一个普通的水平。所以得多花时间去理解。这篇笔记主要把前面六个例题解决。

微分方程的基本概念

能大概理解就好。实际上考试还是考察计算，定义这块感觉也不好出题，只是不理解定义就不能融会贯通。微分方程就是既有微分（导数），又有函数的方程。阶就看导数的最高阶。其他的没什么难以理解的概念了。

题型 1 分离变量

分离变量之后求不定积分，我有一个疑问，要不要加绝对值。感觉还是加上比较合适。只有后面那个一阶线性微分方程那里假设出现需要加绝对值，因为我们是构造了一个积分因子，所以只要找到一个符合条件的即可，那里不需要加绝对值。这里还是加上绝对值比较稳妥，然后用任意常数再把绝对值去掉。另外 C 要大写，感觉也是一个小细节。

分离变量的时候先把微分全部放到一边，这样计算的时候更有规则一些，然后再变量分离。计算的时候一定要小心谨慎，另外可以试一下老师以前说的方法，计算几步就检验一下是不是计算正确了。

感觉看网课做笔记不是一个最好的方式。看网课就只看网课比较合适。因为做笔记，尤其是写连续的笔记，最好先有一个框架，不然一下子中断，或者需要暂停，感觉也不够丝滑，我理想中的学习状态是比较丝滑流畅的。

微分的定义：因为要敲公式就懒得敲了。博客的灵魂是用自己的语言总结一下这些知识点。我认为是规定了线性主部。函数的增量是线性主部与增量的高阶无穷小。微分的定义就是线性主部。微分等于导数乘以增量。5.3 这题就是用微分的定义作为背景。一个字都没有改。直接能把导数写出来。然后变量分离迅速解决。另外有的题目是要求具体某个点的值，一定要算到最后面一步。

题型 2 齐次方程

5.4

方法就是换元加上变量分离。后期想要加快做题速度的话，可以把换元之后的结果记住，能直接写的话速度就会快很多。思路很简单直接，但是好像计算把我卡住了。积分算不出，这有点扯了。算了，看一下解答。

哦，差一点点，写的稍微有点复杂之后我凑微分有点反应不过来。齐次方程就是函数变量是 $\frac{y}{x}$ 的形式。还是可以用一点 latex 的格式的。不然有时候纯中文还是差点意思。对数函数的运算我也有点懵逼。 $\ln y-\ln x=\ln \frac{y}{x}$。大概是这种。做数学的笔记一定要用 latex ，用的多了就还好。

题型 3 一阶线性微分方程

知识点

一阶导数，一元函数，算了，直接看这个，像这个格式的就是一阶线性微分方程。$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ ,$q(x)\equiv 0$ 是齐次，否则是非齐次，非齐次的通解是 $e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$，齐次的通解是 $C{e}^{-\int p(x)dx}$，可以发现，作为 $e$ 的指数的都是 $p(x)$ 的不定积分，注意一下符号即可。

5.5

第一问好像还好，套公式一下就算出来了。第二问根据算出来的曲线方程 $\frac{sinx}{e^x}$ 算与 $x$ 轴之间的面积。貌似有点套不了公式。我又想到，这个不会是六大恶人里面的，$e^{x^2},e^{-x^2},\frac{sinx}{x},\frac{cosx}{x},\frac{1}{lnx},\frac{tanx}{x}$ ，六大恶人实际上就是两个指数函数，一个对数函数的倒数，三个三角函数与 $x$ 的比值。这个第二问能用定积分的几何意义来解决。三角函数很多都是零，写的时候一定要注意，不要把三角函数里面的和三角函数外面的混在一起，因为假设不能产生零约掉很多式子，这个题目就太复杂了，题目质量也算比较低。三角函数两次分部积分之后可能出现和要求的式子相等的式子，移项之后可以得到要求的答案。

算出来了。希望答案是对的。运气比较好。答案确实是对的。下次对答案之前可以检查一遍自己的草稿。这样更稳一点，可以极大程度减少低级的运算失误。

总结一下就是，第一问根据一阶非齐次线性微分方程的公式 $y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$，一阶齐次线性微分方程的公式是 $y=C{e}^{-\int p(x)dx}$，齐次的更简单一些比较符合我们的认知，毕竟这个本来就更加简单一些。所以公式更加简单一些。套公式算出曲线的表达式，曲线作为被积函数，利用定积分的几何意义，间接求出面积。计算定积分的时候使用凑微分的方法。

5.6

这个是纯粹的套用一阶非齐次线性微分方程，然后考察了积分表里面的三角函数的积分。比较少见的积分，用的少，$\int tanxdx=-ln|cosx|+C$ ，当然，这里的公式只需要一个原函数即可，$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$，然后幂指转换就不赘述了，比较常用。要是考研考这道题，真的就是过年了。当然前提是记住这个公式，要是不记得这个公式一切就白搭了。数学公式，英语单词，专业课的知识点，就像是作战时的武器。

尾声

我最好把自己的分析都记录下来，这样可以让自己分析得更加清楚一些。详细仔细的分析可以让自己的数学能力得到提升。