通信原理学习笔记5-2：数字调制——连续相位和恒包络问题（非线性功放、连续相位CP FSK信号、最小频移键控MSK、GMSK）

为了最大程度利用非线性功放，需要降低信号PAPR，这要求信号具有恒包络特性
信道带宽有限，需要降低信号带外泄露（进而传输失真小），要求信号具有连续相位特性（从而高频成分少）

波形连续和恒包络之间存在矛盾：想要恒包络就会有跳变（波形不连续，频谱扩展）；想要连续波信（连续相位），为了平滑过渡就没有恒包络
下面会看到：

错位QPSK（OQPSK）：在QPSK的基础上，基带信号的实部和虚部错位半个符号周期（成形滤波器仍然是升余弦滚降滤波器），从而改善了相位跳变
连续相位频移键控CP FSK是一种同时满足相位连续和恒包络的调制方式
对于FSK，理论上最小的频率间隔 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$ ，得到最小频移键控MSK，获得较高频谱效率
MSK可以用OQPSK等价实现
CP FSK和MSK可以结合，即：用方波控制VCO，并且保证输出信号频率间隔为 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$
MSK的连续频谱仍有带外泄露问题（对于MSK，频谱不可能只有两根离散谱线，因为MSK是随机信号，不是周期信号，进而连续的频谱也不可能在频率间隔为 $\Delta f$ 之外突然截断，故真正的带宽大于 $\Delta f$ ）
高斯滤波最小频移键控GMSK：不是直接用方波作为VCO的控制信号，而是方波先经过高斯滤波器，再作为VCO的控制信号，从而改善MSK的带外泄露问题
数字预失真DPD出现后，不再那么追求信号恒包络（相对而言频谱效率低），而是关注频谱效率，最终QAM技术重新胜出

非线性功放问题

功率放大器（简称功放），理想的功放能线性放大信号的功率，从而使信号传播更远，即 $y (t) = k x (t)$ ， $k$ 为放大系数；
而实际中功放是非线性的

我们知道，线性系统有频率保持特性（若输出为正弦，必然输出相同频率的正弦）
而非线性系统(非线性功放)有频谱扩展问题：输入正弦，输出很多本不存在的频率成分）

为避免非线性功放的频谱扩展问题，应该尽量使用功放的线性区域（图中的 $P_L$ ）
这就是说，需要保证功放输入端的信号最大功率不能超过 $P_L$
在这里插入图片描述
限制输入信号最大功率为 $P_L$ ，那么信号的峰均功率比就很重要了： $PAPR=\frac{P_{peak}}{P_{avg}}$
信号的峰均功率比PAPR越高，则信号对功放的使用效率越高（固定信号最大值，那么如果输入信号PAPR较大，会导致需要压低输入信号的平均功率）；

可见，为提高功放利用率，希望降低信号PAPR，特别的，具有恒包络的信号具有最低的PAPR，因此有时追求信号的恒包络特性

4QAM的恒包络特性讨论：波形连续（相位连续）和恒包络的矛盾

对于4QAM调制得到的射频信号：

如果成形滤波器采用矩形脉冲：射频信号恒包络，但是两个符号之间有跳变，导致了带外泄露，频谱非常宽（引入额外高频成分）
如果成形滤波器采用升余弦滚降滤波器，则频谱限定在一定频段范围，但时域上，信号的跳变被消除，波形更平滑，同时射频信号不再是恒包络的

可见对于4QAM，波形连续和恒包络之间存在矛盾：想要恒包络就会有跳变（波形不连续，频谱扩展）；想要连续波信（连续相位），为了平滑过渡就没有恒包络

是否存在同时满足相位连续和恒包络的调制方式呢？这就是下面将介绍的连续相位频移键控CP FSK

连续相位频移键控CP FSK

连续相位频移键控CP FSK（Continuous Phase FSK）原理很简单：用（矩形的）基带脉冲信号控制压控振荡器VCO，从而频率被调制了的FSK信号
注意，VCO的输出信号为： $s_{\mathrm{RF}}(t)=\cos [\theta(t)]，\\\begin{aligned}其中信号的总相位\theta(t)&=2 \pi f_{c} t+\hat{\phi}(t)\\ &=2 \pi f_{c} t+K \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)\\ &=2 \pi f_{c} t+2\pi h \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)\end{aligned}$

输出信号的频率： $\omega(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \theta(t)=2 \pi f_{c}+K u_{c}(t)$ ，也就是说输出信号的瞬时角频率由输入 $u_{c}(t)$ 线性控制，实现了FSK
输出信号的相位： $\theta(t)=K \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)$ ，由于积分的作用，无论 $u_{c}(t)$ 波形如何（即使为跳变的方波），输出信号相位必然连续

其中，从输入信号 $u_{c}(t)$ 和输出信号频率是线性关系，只相差一个系数 $K$

$K$ 是VCO的灵敏度系数 $\pi f_{d} T_{s}$
其中 $f_d$ 为最大频率偏移（它是FSK的带通信号频谱带宽的一半，即频谱最边缘部分相对于中心频率的偏移）
对于CP FSK，我们定义一个参数：调制系数（modulation index） $h=2 f_{d} T_{s}$ ；
灵敏度系数和调制系数的关系： $\pi f_{d} T_{s}=2\pi h$

例如，用矩形的基带脉冲信号控制VCO，输出的CP FSK信号为： $s_{\mathrm{RF}}(t)=\cos \left[2 \pi f_{c} t+K \int_{-\infty}^{t} d(\tau) \mathrm{d} \tau\right] \\ \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+4 \pi f_{d} T_{s} \int_{-\infty}^{t} d(\tau) \mathrm{d} \tau\right] \\ \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi h \int_{-\infty}^{t}d(\tau)\mathrm{d} \tau\right]]$

如果信息比特经过矩形脉冲成形，则上式中基带信号/控制电压 $u_c(t)=d(t)=\sum_{n} I_{n} g\left(\tau-n T_{s}\right)$ ，则有CP FSK信号： $s_{\mathrm{RF}}(t) \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi h \int_{-\infty}^{t} \sum_{n} I_{n} g\left(\tau-n T_{s}\right) \mathrm{d} \tau\right]$ CP FSK信号波形如图：

与之对比，普通的FSK（非连续相位FSK）则在两个符号之间有跳变，频谱出现高频成分，即带外泄露

最小频移键控MSK

对于FSK而言，不同符号可以对应不同的频率，并且频率间隔越小，能够实现的频谱效率越高；

然而FSK的频率间隔不能无限小，下面将证明，实现正交的两个余弦信号，其频率间隔最小为 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$ （注意，不是 $\frac{1}{T_s}$ ，而是最小可以做到其一半）
最小频移键控MSK：使用了（理论上最小的）频率间隔 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$ 的FSK
若考虑2FSK，显然仅有的两个频率就在中心频率的两侧，故有频率间隔 $\Delta f=2f_d$ （两倍最大频率偏移）
结合上面的CP FSK的调制指数概念，从而有：MSK的调制指数为1/2（ $f_{d} T_{s}=\Delta f T_{s}=\frac{1}{2T_s} T_{s}=\frac{1}{2}$ ）

MSK可以和CP FSK结合，只要CP FSK采用的频率间隔为（理论上最小的） $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$ 即可，也就是说在CP FSK的基础上，调节VCO的灵敏度 $K$ 使得调制指数 $h = 1 / 2$ 即可

证明：实现正交的两个余弦信号，其频率间隔最小为 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$
将两个FSK已调信号（不同频率的余弦信号）做内积，若结果为0则两者正交，说明可以区分出这两个频率成分
$\begin{aligned}\rho_{k m} &=\left\langle\Re\left[s_{m}(t)\right], \Re\left[s_{k}(t)\right]\right\rangle \\ &=\int_{0}^{T_{s}} \cos (2 \pi k \Delta f t) \cos (2 \pi m \Delta f t) \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{2} \int_{0}^{T_{s}} \cos [2 \pi(m-k) \Delta f t]+\cos [2 \pi(m+k) \Delta f t] \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin \left[2 \pi(m-k) \Delta f T_{s}\right]}{2 \pi(m-k) \Delta f}+\frac{\sin \left[2 \pi(m+k) \Delta f T_{s}\right]}{2 \pi(m+k) \Delta f}\right)\end{aligned}$ 上式中，要使得两个相邻频率（ $m - k = 1$ ）的余弦信号正交，即 $\rho_{k m}=0$ ，所需要的最小频率间隔就是 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$

例如，给定了符号周期 $T_s$ ，满足 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$ 的互相正交的余弦信号如下（ $m=0\sim 4$ ）

高斯滤波最小频移键控GMSK

MSK和CP FSK结合使用，即：用方波控制VCO，并且保证输出信号频率间隔为 $\Delta f=\frac{1}{2T_s}$

然而这样做仍不完美：虽然VCO输出信号相位连续，且频率间隔最小，但是MSK的连续频谱仍有带外泄露问题（对于MSK，频谱不可能只有两根离散谱线，因为MSK是随机信号，不是周期信号，进而连续的频谱也不可能在频率间隔为 $\Delta f$ 之外突然截断，连续谱一定有过渡，因此真正的带宽大于 $\Delta f$ ，即频谱效率）

高斯滤波最小频移键控GMSK：不是直接用方波作为VCO的控制信号，而是方波先经过高斯滤波器，再作为VCO的控制信号
这样，高斯滤波器减小了VCO控制电压的高频成分，从而改善了MSK的带外泄露问题

高斯滤波器： $\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2 \sigma^{2}}},\quad H(\omega) =K \sigma \mathrm{e}^{\frac{\omega^{2}}{2 / \sigma^{2}}}$
其中，高斯滤波器的带宽由参数 $\sigma$ 决定， $\sigma$ 越大带宽越小；
实际中常用的高斯滤波器的指标是 $BT_s$ ，其中 $B$ 是高斯滤波器的-3dB带宽
GSM中，就采用了 $BT_s=0.3$ 的GMSK调制

MSK方案下，成形滤波器为矩阵脉冲 $R e c t (t)$ ，脉冲成形后得到矩形脉冲 $d (t)$ ，将其作为VCO控制信号： $u_c(t)=d(t)=\sum_{n} I_{n} \operatorname{Rect}\left(t-n T_{s}\right)$
GMSK带来了更好的频谱特性（带外泄露少），与此同时误码率增高，需要综合考虑与权衡这对矛盾

GMSK方案下，矩形脉冲 $d (t)$ +高斯滤波器的卷积结果，作为VCO控制信号： $u_{c}(t) =d(t) * h(t)=\sum I_{n} \operatorname{Rect}\left(t-n T_{s}\right) * h(t)=\sum_{n} I_{n} g\left(t-n T_{s}\right)$ 其中，定义 $=\operatorname{Rect}(t) * h(t)$ ，即GMSK总体上等效的成形滤波器

这就是说，GMSK方案下的基带信号是 $u_{c}(t) =\sum_{n} I_{n} g\left(t-n T_{s}\right)$ ，GMSK总体上等效的成形滤波器 $g (t)$ =矩形脉冲 $d (t)$ 与高斯滤波器 $h (t)$ 卷积
由于GMSK的成形滤波器 $g (t)$ 不满足Nyquist准则，引入码间串扰，从而GMSK误码性能比MSK稍差

MSK的OQPSK等效实现

错位QPSK（OQPSK）：在QPSK的基础上，基带信号的实部和虚部错位半个符号周期（成形滤波器仍然是升余弦滚降滤波器）
OQPSK的优势是，避免了实部和虚部同时过零点的情况，从而防止已调信号出现幅度很小的包络（如图中 $1.5T_s$ 处），从而PAPR特性更好，有利于高效使用非线性功放

上面的OQPSK，使用升余弦滚降滤波器来进行脉冲成形，然而信号并非恒包络；
如果成形滤波器换为一个特殊的半正弦成形函数，则此时OQPSK等价于MSK
下图中，实线对应半正弦成形函数，虚线对应升余弦滚降滤波器
在这里插入图片描述

使用半正弦成形的OQPSK，等价于MSK调制
从直观上，半正弦成形后，基带信号取值平滑趋于零，从而基带信号没有跳变（证明略）

线性功放与QAM的重新崛起

GMSK在2G的GSM中获得应用，然而在3G和4G中又是PSK和QAM一统江山，这与线性功放技术有关

线性功放技术：核心就是数字预失真DPD（Digital Pre-Distortion）
数字预失真DPD就是对非线性功放的“逆向还原”，最终整个功放表现为线性的，DPD大幅扩大了功放的线性范围，在3G后的系统中广泛应用
产生线性功放技术后，由于功放的线性范围扩大，对信号的PAPR指标要求没有GSM中那么严格，也就是说不再一味的追求信号的恒包络
（毕竟恒包络也有代价：一方面OQPSK中的半正弦成形滤波不是严格带限的，造成带外泄露；另一方面恒包络意味着无法通过幅度传递信息，降低了频谱效率，然而4G更追求频谱效率）
最终QAM（包括QPSK）在3G和4G中胜出