题目

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

1 <= n <= 45

题解

思路分析

这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决。我们定义 dp[i] 表示到达第 i 阶的方法总数。根据题目描述，每次可以选择爬 1 个台阶或 2 个台阶，因此：

• 如果最后一步是爬了 1 个台阶，那么剩下的部分就是 dp[i-1]。
• 如果最后一步是爬了 2 个台阶，那么剩下的部分就是 dp[i-2]。

所以，状态转移方程为：

[ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ]

这实际上是一个斐波那契数列问题，其中 dp[0] = 1（从地面开始也算一种方式），dp[1] = 1。

Python 实现代码

def climbStairs(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    
    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0], dp[1] = 1, 1
    
    # 填充 dp 数组
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    
    return dp[n]

空间优化

注意到在上面的实现中，我们只需要前两个状态值 dp[i-1] 和 dp[i-2] 来更新当前的状态 dp[i]，因此可以进一步优化空间复杂度为 O(1)，只使用两个变量来存储这两个状态值。

def climbStairs_optimized(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    
    # 初始化前两个状态值
    prev, curr = 1, 1
    
    for i in range(2, n + 1):
        temp = curr
        curr = prev + curr
        prev = temp
    
    return curr

代码解释

1. 初始化边界条件：

   • 当 n == 1 时，直接返回 1，因为只有一种方法爬到第一阶。

2. 动态规划数组：

   • dp[0] 和 dp[1] 分别初始化为 1，表示到达第 0 阶和第 1 阶的方法数。

3. 状态转移：

   • 对于每一个 i，通过 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 计算到达第 i 阶的方法数。

4. 返回结果：

   • 最终返回 dp[n]，即到达第 n 阶的方法数。

5. 空间优化版本：

   • 使用两个变量 prev 和 curr 来代替整个 dp 数组，从而将空间复杂度降低到 O(1)。

这种方法的时间复杂度为 O(n)，因为我们只需要遍历一次从 2 到 n 的所有整数。而空间优化后的版本更是将空间复杂度降到了常数级别，非常适合处理较大的输入值（如题目提示中的 1 <= n <= 45）。

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