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一、线性码（Linear Code）

定义1： $q$阶线性码$C$是${\mathbb{F}}_q^n$的线性子空间。如果$C$的维度为$k$，那么称其为$[n,k]$线性码。

定义2：线性码$C$的生成矩阵是$G\in {\mathbb{F}}_q^{k\times n}$,$G$的行是$C$的基（即线性码是$G$的行的线性组合）。

定义3：汉明重量（Hamming weight）：对于$x\in {\mathbb{F}}_q^n$，$x$的汉明重量为其非零元的个数：
w t H ( x ) = ∣ { i ∈ { 1 , . . . , n } ∣ x i ≠ 0 } ∣ wt_H(x)=|\{i\in\{1,...,n\}|x_i\ne0\}| wtH​(x)=∣{i∈{1,...,n}∣xi​=0}∣

定义4：汉明距离（Hamming distance）：对于$x,y\in {\mathbb{F}}_q^n$，$x,y$的汉明距离为其向量中不同值的位数：
d H ( x , y ) = ∣ { i ∈ { 1 , . . . , n } ∣ x i ≠ y i } ∣ d_H(x,y)=|\{i\in\{1,...,n\}|x_i\ne y_i\}| dH​(x,y)=∣{i∈{1,...,n}∣xi​=yi​}∣

定义5：最小汉明距离（minimum Hamming distance）:编码$C$中任意两个不同码字间汉明距离，最小的即为$C$的最小汉明距离：
d H ( C ) = ∣ { d H ( x , y ) ∣ x , y ∈ C ,   x ≠ y } ∣ d_H(C)=|\{d_H(x,y)|x,y\in C,~x\ne y\}| dH​(C)=∣{dH​(x,y)∣x,y∈C, x=y}∣

二、生成矩阵

在定义二中$G$的行是$C$的基，矩阵$G$称为生成矩阵：
C = { x G ∣ x ∈ F q k } C=\{xG|x\in \mathbb{F}_q^k\} C={xG∣x∈Fqk​}

三、奇偶校验矩阵（Parity Check Matrix）

定义6：令$C$位$[n,k]$线性码，那么$C$的奇偶校验矩阵$H\in {\mathbb{F}}_q^{(n-k)\times n}$定义如下：
C = { y ∈ F q n ∣ H y T = 0 } C=\{y\in\mathbb{F}_q^n|Hy^T=0\} C={y∈Fqn​∣HyT=0}

对于$x\in {\mathbb{F}}_q^n$，称$x{H}^T$为syndrome。