极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE） 是一种统计方法，用于从数据中估计模型参数。它的核心思想是选择那些使得观测数据最可能发生的参数值。换句话说，MLE 寻找能够最大化数据在给定模型下出现的概率（即似然函数）的参数。

核心思想

假设我们有一个参数为 $\theta$ 的概率分布模型，比如正态分布、伯努利分布等，数据集由 $n$ 个样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 组成。极大似然估计的目标是找到参数 $\theta$，使得在参数为 $\theta$ 的情况下，这些数据出现的概率最大。

形式化定义

1. 似然函数：
   给定观测数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 和一个参数 $\theta$，似然函数 $L(\theta )$ 表示在参数为 $\theta$ 的条件下，观测数据的联合概率。对于独立同分布（i.i.d.）的数据，似然函数可以写作：
   $$L(\theta )=P(x_1,x_2,\dots ,x_n|\theta )=\prod _{i=1}^{n}P(x_i|\theta )$$

   这里，$P(x_i|\theta )$ 表示在给定参数 $\theta$ 的情况下，数据 $x_i$ 的概率或概率密度。

2. 极大化似然函数：
   我们的目标是找到参数 $\theta$，使得似然函数 $L(\theta )$ 达到最大值。由于乘法计算可能导致数值上的不稳定性，通常我们会取对数，并最大化对数似然函数（log-likelihood function）：
   $$\ell (\theta )=\log L(\theta )=\sum _{i=1}^n\log P(x_i|\theta )$$

   这样可以简化计算并避免数值问题。

3. 极大似然估计：
   我们通过求解以下方程来找到参数 $\theta$：
   $$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\ell (\theta )$$

   这就是极大似然估计的核心思想：找到使对数似然函数最大的参数 $\hat{\theta }$。

举例说明

1. 伯努利分布的极大似然估计

假设我们有一个二元随机变量 $X$，它服从伯努利分布，参数为 $p$（即 $X$ 可能取值为 1 的概率）。我们有一个样本数据集 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，其中每个 $x_i$ 都是 0 或 1。我们希望估计参数 $p$，使得这些数据出现的可能性最大。

• 伯努利分布的概率质量函数为：
  $$P(X=x_i|p)=p^{x_i}(1-p{)}^{1-x_i}$$

• 似然函数为：
  $$L(p)=\prod _{i=1}^n{p}^{x_i}(1-p{)}^{1-x_i}$$

• 对数似然函数为：
  $$\ell (p)=\sum _{i=1}^n\left(x_i\log p+(1-x_i)\log (1-p)\right)$$

• 我们对 $p$ 求导，并令导数为 0 来求极大值：
  $$\frac{d\ell (p)}{dp}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{p}-\frac{{\sum }_{i=1}^n(1-x_i)}{1-p}=0$$

• 通过解这个方程，我们可以得到：
  $$\hat{p}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$$

  这意味着 $p$ 的极大似然估计值是样本中 1 的比例，即 $p$ 的估计值是样本中 1 出现的频率。
  本示例更加详细的求解过程

2. 正态分布的极大似然估计

假设我们有一个样本数据集 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，它们来自一个正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，我们希望估计正态分布的参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。

• 正态分布的概率密度函数为：
  $$f(x_i|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

• 似然函数为：
  $$L(\mu ,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

• 对数似然函数为：
  $$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi )-\frac{n}{2}\log ({\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

• 分别对 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 求导，令导数为 0：

  • 对 $\mu$：
    $$\frac{\partial \ell }{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )=0$$

    解这个方程可得：
    $$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

    也就是说，$\mu$ 的极大似然估计值是样本的均值。

  • 对 ${\sigma }^2$：
    $$\frac{\partial \ell }{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=0$$

    解这个方程可得：
    $${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\hat{\mu }{)}^2$$

    也就是说，${\sigma }^2$ 的极大似然估计值是样本的方差。
    本示例更加详细的求解过程

总结

• 极大似然估计 是通过最大化样本数据在模型下出现的概率来估计模型参数的。
• 通过对似然函数或对数似然函数求导并找到其最大值，可以找到参数的估计值。
• 在许多机器学习和统计学问题中，极大似然估计是最常用的参数估计方法之一，特别是在需要从数据中估计概率分布或模型参数时！